Ponieważ jest to bardzo naturalny i dość prosty wynik, z pewnością jest znany statystykom, jednak nie mogłem znaleźć go w internecie. Chciałbym się zatem dowiedzieć:Niech \(\displaystyle{ (\Omega_x, \Sigma_x, \mathbb{P}_x)}\) i \(\displaystyle{ (\Omega_y, \Sigma_y, \mathbb{P}_y)}\) będą przestrzeniami probabilistycznymi i niech \(\displaystyle{ (\Omega, \Sigma, \mathbb{P})}\) będzie ich produktem kartezjańskim. Niech \(\displaystyle{ Z : \Omega \to \RR}\) będzie zmienną losową i niech \(\displaystyle{ \mathbb{E} Z = 0}\).
Następujące warunki są równoważne:
(i) Istnieją zmienne losowe \(\displaystyle{ X : \Omega_x \to \RR}\), \(\displaystyle{ Y : \Omega_y \to \RR}\), takie że \(\displaystyle{ \mathbb{E} X = \mathbb{E} Y = 0}\) i \(\displaystyle{ Z = X + Y}\).
(ii) \(\displaystyle{ Z = \mathbb{E}(Z \mid \Sigma_x) + \mathbb{E}(Z \mid \Sigma_y)}\).
(Z dokładnością do naturalnych utożsamień mamy \(\displaystyle{ \Sigma_x, \Sigma_y \subseteq \Sigma}\), utożsamiamy też zmienne losowe \(\displaystyle{ T : \Omega_t \to \RR}\) z \(\displaystyle{ \Sigma_t}\)-mierzalnymi zmiennymi \(\displaystyle{ T : \Omega \to \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \{ x, y \}}\). )
Czy podany fakt lub (wzajemnie równoważne) własności (i) - (ii) zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) mają swoją nazwę? Gdzie można znaleźć to zagadnienie w literaturze?