Jednoczynnikowa analiza wariancji

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Jednoczynnikowa analiza wariancji

Post autor: janusz47 »

Zadanie

Sprawdzono ceny jednego kwiatu róży ogrodowej w trzeh miastach: \(\displaystyle{ M,W,P.}\)

Czy poniższe dane udawadniają zależność ceny od miasta?

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Miasta} & \text{Średnia cena (z dziesięciu powtórzeń)} \\ \hline
M & 10.5\\ \hline
W & 9.1\\ \hline
P & 8.3 \\ \hline
\end{array} }\)


\(\displaystyle{ s^2_{e} =0,1.}\)

Jednoczynnikowa analiza wariancji

Rozpatrujemy \(\displaystyle{ k = 3 }\) dziesięcio-elementowe populacje róży ogrodowej oraz cechę \(\displaystyle{ X }\)- cenę jednego ich kwiatu sprawdzoną w każdym z miast \(\displaystyle{ M, W, P. }\)

Zakładamy ponadto, że \(\displaystyle{ X_{i} }\) mają rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu_{i}, \sigma^2_{i}), \ \ i=1,2,3.}\)

Przy czym średnie \(\displaystyle{ \mu_{i} }\) oraz wariancje \(\displaystyle{ \sigma^2_{i} }\) są nieznane i

\(\displaystyle{ \sigma^2_{1}=\sigma^2_{2}=\sigma^2_{3}. }\)

Hipoteza zerowa \(\displaystyle{ H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}. }\)

Hipoteza alternatywna \(\displaystyle{ H_{1}: \mu_{1}\neq \mu_{2} \neq \mu_{3}. }\)

Przeprowadzimy test \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\) (Fischera-Snedecora) na pozoiomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,05.}\)

Statystyka testowa: \(\displaystyle{ F_{emp}= \frac{S^2_{\alpha}}{S^2_{e}}. }\)

Na podstawie danych z tabelki obliczamy

Średnią ogólną: \(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{1}{3}(10,5 + 9,1+ 8,3) = 9,3. }\)

Sumę kwadratów odchyleń: \(\displaystyle{ s^2_{0,05} = \frac{1}{2}\cdot 10 [(10,5-9,3)^2+ (9,1-9,3)^2+ ( 8,3-9,3)^2] = 12,4.}\)

Watość statystyki testowej: \(\displaystyle{ f_{emp} = \frac{s^2_{0,05}}{s^2_{e}} = \frac{12,4}{0,1} = 124.}\)

Z tablicy \(\displaystyle{ (^{*})}\) rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\) odczytujemy wartość kwantyla:

\(\displaystyle{ F(\alpha, k-1, n-k) = F(0,05, 2, 27) \approx 19,46. }\)

\(\displaystyle{ F(\alpha, k-1, n-k) = 19,46 < f_{emp} = 124. }\)

Mamy powody do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0} }\) - cena jednego kwiatu róży ogrodowej zależy od miasta zakupu.

\(\displaystyle{ (^{*})}\) Ryszard Zieliński Wojciech Zieliński. Podręczne tablice statystyczne. WNT Warszawa 1987.
ODPOWIEDZ