Matematyka.pl

Proszę o pomoc z czymś takim.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozmiar gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \frac{c}{x} \mathbb{1}_{[1,4]}(x)}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ c}\), dystrybuantę, oblicz \(\displaystyle{ P(2\le X <3)}\), \(\displaystyle{ E[X]}\), \(\displaystyle{ VarX}\).
No to pierwsze robię z zależności między gęstością a całką z gęstości tj. całka po całej prostej z gęstości wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i zauważam, że wystarczy scałkować tylko ten przedział, gdzie gęstość jest niezerowa czyli \(\displaystyle{ [1,4]}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \frac{c}{x}dx=1}\)
\(\displaystyle{ c(\ln 4-\ln 1)=1}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{1}{\ln 4}}\) dobrze to jest?? To ma tak wyjść?
Dystrybuanta no to po prostu całka \(\displaystyle{ F_{x}= \int_{-\infty }^{x} \frac{1}{t\ln 4}dt }\). No tak wychodzi, ale pytanie czy ja dobrze myślę w ogóle.
Ale dalej to ja już w ogóle nie wiem co się dzieje. Dla mnie szukane prawdopodobieństwo też wypadałoby jakoś scałkować, ale od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 3}\) no tak na logikę mi się wydaje, ale chyba mi źle wychodzi.
\(\displaystyle{ P(2\le X <3)= \int_{2}^{3} f(x)dx= \int_{2}^{3} \frac{1}{x\ln 4}dx = \frac{1}{\ln 4} \frac{\ln 3}{\ln 2}}\) Ja coś źle robię, że takie liczby mi wychodzą?

No i \(\displaystyle{ E[X]}\) i tu już w ogóle bez sensu i dlatego \(\displaystyle{ VarX}\) nie liczę bo nie umiem.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty } x \frac{1}{x\ln 4} dx = \int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{\ln 4}dx}\) No to przecież wyjdzie nieskończoność czy tam minus nieskończoność?? O co chodzi??

Niepokonana pisze: ↑10 paź 2023, o 11:48 No i \(\displaystyle{ E[X]}\) i tu już w ogóle bez sensu ...

Niepokonana pisze: ↑10 paź 2023, o 11:48 \(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty } x \frac{1}{x\ln 4} dx}\)\(\displaystyle{ = \int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{\ln 4}dx}\) No to przecież wyjdzie nieskończoność czy tam minus nieskończoność?? O co chodzi??

Gęstość \(\displaystyle{ f}\) jest przycięta indykatorem \(\displaystyle{ [1,4]}\) więc całki są właściwe.

No to faktycznie tak może być, a co z resztą, dobrze?

Obliczeń nie sprawdzałem ale wygląda ok.

Niepokonana pisze: ↑10 paź 2023, o 11:48\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \frac{1}{x\ln 4}dx = \frac{1}{\ln 4} \frac{\ln 3}{\ln 2}}\)

Raczej \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln 4} \cdot \big( \ln 3 - \ln 2 \big)}\) lub \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln 4} \cdot \ln \frac{3}{2}}\).