Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o ciągłej i ściśle rosnącej dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\) oraz niech \(\displaystyle{ U}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Pokaż, że
a) zmienna losowa \(\displaystyle{ F^{-1}(U)}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\).
b) zmienna losowa \(\displaystyle{ F(X)}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Jak zrobić a)?
Generowanie zmiennych losowych
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Generowanie zmiennych losowych
a)
Dowód twierdzenia wynika z lematów:
1. Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F, \ \ (X \sim F ),}\) to
\(\displaystyle{ \forall x\in \RR \ \ Pr(F(X) \leq F(x)) = F(x).}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ X \sim F}\) i \(\displaystyle{ F}\) - ciągła, to \(\displaystyle{ F(X)}\) ma rozkład jednosajny \(\displaystyle{ \mathcal{ U}(0,1), \ \ F(X) \sim \mathcal{U}(0,1).}\)
Dowód twierdzenia wynika z lematów:
1. Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F, \ \ (X \sim F ),}\) to
\(\displaystyle{ \forall x\in \RR \ \ Pr(F(X) \leq F(x)) = F(x).}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ X \sim F}\) i \(\displaystyle{ F}\) - ciągła, to \(\displaystyle{ F(X)}\) ma rozkład jednosajny \(\displaystyle{ \mathcal{ U}(0,1), \ \ F(X) \sim \mathcal{U}(0,1).}\)