Ponieważ policzyłem już przykład pierwszy, to przy liczeniu drugiego pozwoliłem sobie z niego skorzystać. Umieszczam je poniżej a pytanie na końcu.
Przykład pierwszy (rozkład Poissona).
\(\displaystyle{ \psi(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!} \cdot e^{tk} = e^{-\lambda} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{tk} = e^{-\lambda} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{{(\lambda \cdot e^{t}})^{k}}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda \cdot e^{t}} = e^{\lambda \cdot (e^{t} - 1)} }\)
Przykład drugi, czyli dla rozkładu \(\displaystyle{ P(X=j) = q^{j} \cdot p}\).
\(\displaystyle{ \psi(t) = \sum_{j=0}^{+\infty} q^{j} \cdot p \cdot e^{t \cdot j} = p \cdot \sum_{j=0}^{+\infty} q^{j} \cdot e^{t \cdot j} = p \sum_{j=0}^{+\infty} (q \cdot e^{t}) ^ {j} }\).
I tutaj doszedłem do ściany, więc pytanie brzmi - ile wynosi \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{+\infty} (q \cdot e^{t}) ^ {j} }\)? Wiem, że mógłbym to podzielić przez \(\displaystyle{ j!}\) i pomnożyć przez to samo, ale wtedy raczej tym bardziej bym nie wiedział ile to wynosi...
