Matematyka.pl

Proszę o pomoc w zadaniu na egzamin. Nie wiem jak to zrobić:(

zad.Znajdź metodą największej wiarygodności i metodą momentów estymator:
a) rozkładu wykładniczego
b) rozkładu Poissona

A wiesz jak się wyznacza taki estymator?

MNW dla rozkładu wykładniczego rozpatrujemy \(\displaystyle{ \Theta e^{-\Theta x}}\)
\(\displaystyle{ f_{\Theta}(x_{1}=x_{1}......x_{n}=x_{n})=f_{\Theta}(x_{1}=x_{1}).....f_{\Theta}(x_{n}=x_{n})}\)

\(\displaystyle{ \Theta^{n}\Pi^{n}_{i=1}x_{i}^{\Theta}=\Theta^{n}[x_{1} \cdot ... \cdot x_{n}]^{\Theta}}\)

\(\displaystyle{ \Theta^{n}(x_{1} \cdot ... \cdot x_{n})^{\Theta}}\)

i liczymy z tego logarytm, następnie pochodną i to co nam wyjdzie przyrównujemy do zera i wyznaczamy \(\displaystyle{ \Theta}\). I robiłam tak, ale zawsze coś jest nie tak, a to źle logarytm, a to źle pochodna.

Dla rozkładu Poissona rozpatrujemy \(\displaystyle{ \Theta^{x} \cdot \frac{e^{-\Theta}}{x!}}\)

Metody momentów nie umiem zrobić.

\(\displaystyle{ \ln L=n\ln\Theta-\Theta\sum\ln x_{i}}\)
\(\displaystyle{ (\ln L)'=\frac{n}{\Theta}-\sum x_{i}=0}\)

Metoda momentów wykorzystuje próbkowe momenty, czyli np w Poissonie estymator \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie średnia bo \(\displaystyle{ E(X)=\lambda}\)

A jak będzie wyglądam ENW dla rozkładu Poissona? Liczę to tak:
\(\displaystyle{ \Theta^{x} \cdot \frac{e^{-\Theta}}{x!}}\)
\(\displaystyle{ -\Theta n+(x_{1}+..+x_{n})ln\Theta+ln(x_{1}!....x_{n}!)}\)
\(\displaystyle{ -n+(x_{1}+..+x_{n}) \frac{1}{\Theta} =0}\)
\(\displaystyle{ \Theta= \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n}}\)

Zgadza się.