Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam problem z poniższym zadaniem:

Rozważamy model regresji liniowej postaci
\(\displaystyle{ Y_i=a+bx_i+\varepsilon_i, }\) \(\displaystyle{ i=1,2,3,4,5, }\)
gdzie \(\displaystyle{ b }\) jest nieznanym parametrem rzeczywistym,
\(\displaystyle{ x_1=x_2=1, x_3= 2, x_4= x_5= 3, }\)
a \(\displaystyle{ \varepsilon_i }\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej 0 i nieznanej wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2>0. }\)
Hipotezę \(\displaystyle{ H_0: b=0 }\) przy alternatywie \(\displaystyle{ H_1:b \neq 0 }\) weryfikujemy testem o obszarze krytycznym postaci
\(\displaystyle{ \left| \frac{\hat b}{\hat \sigma} \right| >c, }\) gdzie \(\displaystyle{ \hat b }\) i \(\displaystyle{ \hat \sigma }\) są estymatorami największej wiarygodności parametrów \(\displaystyle{ b }\) i \(\displaystyle{ \sigma, }\)
a stała c dobrana jest tak, aby test miał rozmiar
0,05. Stała c jest równa?

Wyznaczyłam już estymator parametru \(\displaystyle{ b }\):
\(\displaystyle{ \hat b= \frac{-Y_1-Y_2+Y_4+Y_5}{4}, }\)
natomiast nie umiem sobie poradzić z estymatorem parametru \(\displaystyle{ \sigma }\). Po zróżniczkowaniu funkcji największej wiarygodności po \(\displaystyle{ \sigma ^2 }\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sigma ^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (Y_i-a-bx_i)^2 }\)
a po podstawieniu wartości \(\displaystyle{ x_i }\) mamy
\(\displaystyle{ \sigma ^2 = \frac{1}{5} ({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2+{Y_4}^2+{Y_5}^2-2a(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4+Y_5)-2b(Y_1+Y_2+2Y_3+3Y_4+3Y_5)+5a^2+20ab+24b^2). }\)

Nie wiem jak dalej przekształcić powyższy estymator. Podejrzewam, że należy doprowadzić do takiej postaci, żeby \(\displaystyle{ \left| \frac{\hat b}{\hat \sigma} \right| }\) miało rozkład t-Studenta.

Proszę o pomoc.

Proszę poprawnie wyznaczyć funkcję wiarygodności jednocześnie dla parametrów \(\displaystyle{ b }\) i \(\displaystyle{ \sigma^2 }\) przy założeniu, że błędy \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \ \ i = 1,2,3,4,5. }\)

Obliczyć logarytm naturalny funkcji wiarygodności.

Znaleźć punkty ekstremalne.

Sprawdzić, czy jej macierz Hessego (drugich pochodnych cząstkowych) jest ujemnie określona.

Wyznaczyć wartość bezwzględną ilorazu estymatorów: \(\displaystyle{ \hat{b}, \hat{\sigma}^2. }\)

Obliczyć wartość stałej \(\displaystyle{ c }\) tak, aby współczynnik ufności testu \(\displaystyle{ \alpha = 0,05.}\)

Do weryfikacji hipotezy \(\displaystyle{ H_{0} }\) zastosować statystykę \(\displaystyle{ t = \frac{\hat{b}- b}{\hat{\sigma}(b)}, }\) która ma rozkład \(\displaystyle{ t- }\) Studenta z \(\displaystyle{ N-2 = 5-2 = 3 }\) stopniami swobody.