Matematyka.pl

Na podstawie losowej próby szacujemy frakcję mieszkańców Krakowa znających twierdzenie Hahna-Banacha. Wiadomo na pewno, że jest to mniej niż \(\displaystyle{ 5 \%}\) populacji. Ile osób musi liczyć próba, jeżeli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.95}\) błąd oszacowania ma był mniejszy od \(\displaystyle{ 0.01}\)?

Mnie się to kojarzy z testem dla proporcji: , ale wydaje mi się, że nie miałeś jeszcze statystyki. :s
W jakim kontekście oś takiego się pojawiło?

Jakiś egzamin z 2015 roku, właśnie z wstępu do rachunku prawdopodobieństwa. Możliwe, że teraz mamy okrojony materiał.

Z przedziału ufności dla frakcji (wskaźnika struktury)

\(\displaystyle{ n = \frac{z_{\alpha}\cdot p \cdot (1-p)}{d^2}.}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ z_{\alpha}}\) jest kwanylem rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\) standaryzowanego rozkładu normalnego.

Obliczenia w programie R
Odpowiedź: próba powinna liczyć 3152 osób.

Dzięki, przyda się na zaś

Odkopuję temat - przepraszam za to, ale jestem niezmiernie ciekawy skąd dostaliśmy 0.995 na początku kodu w zalpha = qnorm(0.995)?

Gdzieś w necie znalazłem, że to wartość dystrybuanty odwrotnej w punkcie \(\displaystyle{ 1 - \frac{\alpha}{2}}\). W takim razie \(\displaystyle{ \alpha = 0.01}\). Czy to oznacza, że poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha = d}\), czyli maksymalnemu dopuszczalnemu błędowi pomiaru? Czy zawsze tak jest? Proszę o wytłumaczenie.

Jest to poziom ufności testu \(\displaystyle{ 1 -\alpha = 1- 0,05=0,95.}\)

W takim razie jeśli dobrze rozumiem powinniśmy szukać zalpha = qnorm(0.95), tak? A dalsza procedura już w porządku? Proszę wybaczyć, jeśli źle rozumuję, ale nie miałem jeszcze statystyki, a jedynie prawdopodobieństwo.

Zachęcam w do poznawania Statystyki.

A dziękuję, na pewno skorzystam. Proszę także i odpowiedź do mojego poprzedniego posta

Proszę nie mylić poziomu ufności testu \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) z błędem oszacowania \(\displaystyle{ d}\) wartości frakcji (wskaźnika struktury) \(\displaystyle{ p.}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ -d \leq p \leq d \}) = 1 -\alpha}\)

Panie Januszu, chyba się nie dogadamy, bo ja swoje i Pan swoje

Wszędzie gdzie tylko szukam (nawet w kompendium wiedzy z tej strony ma podane zadania typu "..., gdzie poziom istotności to: (i tu jest podane)". Chciałbym zrozumieć ten przykład, więc napiszę jak ja to widzę.

\(\displaystyle{ X_i}\) - zmienna losowa binarna przyjmująca \(\displaystyle{ 1}\), gdy \(\displaystyle{ i}\)- ta osoba zna twierdzenie Hahna - Banacha oraz \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym wypadku.

\(\displaystyle{ P(X_i = 1) = 0.05}\), bo jedynie około \(\displaystyle{ 5\%}\) osób zna to twierdzenie.

Błąd oszacowania ma być mniejszy od \(\displaystyle{ 0,01}\), zatem \(\displaystyle{ d = 0.01}\).

Zgodnie z tym, co Pan powiedział poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0.05}\)

Wówczas skoro \(\displaystyle{ 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.05}{2} = 1- 0.025 = 0.975}\)

A zatem liczymy dystrybuantę odwrotną \(\displaystyle{ \Phi^{-1}(0.975) = 1.96}\)

Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ N \ge (1.96)^2 \cdot \frac{0.05 \cdot 0.95}{0.01^2} \approx 1825}\) osób. Co Pan myśli o moim rozwiązaniu? I co najważniejsze, czy jest poprawne?

janusz47, Twoja odpowiedź jest tylko oszacowaniem - przecież rozkład nie jest normalny. Wypadałoby najpierw zapytać jakie wiadomości autor poznał na zajęciach.

Poprawne. Tylko jak zwrócił uwagę leq14 - obliczając kwantyl odpowiedniego rzędu we wzorze na dokładność oszacowania \(\displaystyle{ d}\) czy liczność próby \(\displaystyle{ n}\) musimy zawsze mieć na uwadze odpowiedni rozkład. W Twoim przykładzie normalny.