Matematyka.pl

Moje używa dokładnie tego samego rozumowania (i wydaje mi się dosyć naturalne), dlatego nazwałem Twoje szablonowym (inaczej: wzorcowym).

Szablonowe rozwiązanie .

Nie liczyłbym na to, że powyższą granicę

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n+n!}}\)

da się przedstawić w postaci jawnej.

Dodam, że poza odgadnięciem rozwiązania nie mamy zbyt wiele metod - równanie

\(\displaystyle{ 2^{x+ \frac{1}{2} }-1 = \log _ \frac{1}{2}x}\)

jest przestępne.

W wielu książkach (mowa o podręcznikach szkolnych) przy definicji ciągu arytmetycznego/geometrycznego zastrzega się, że jest to ciąg o co najmniej trzech wyrazach. Tak więc z definicji od ciągu arytmetycznego/geometrycznego wymaga się, by składał się co najmniej z trzech wyrazów. Oczywiście, bez pod...

Powyższa nierówność jest szczególnym przypadkiem ogólnej:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc}\)

Tę ogólną w tej postaci stosunkowo łatwo wykazać, sprowadzając (sprytnie) do sumy trzech kwadratów.

Zgadza się.

Chyba łatwe.

Osoba, o której myślę, próbowała wcielić w życie PolyMath na tutejszym forum.

Kolejna autoreferencja?

Jasne, chodzi oczywiście o układ trzech kół z trójkątem o boku \(\displaystyle{ 2R}\) . Dzięki za czujność.

Rozbiłbym to na iloczyn:

\(\displaystyle{ \left(1+i\sqrt{3}\right)^8\cdot\left(1-i\right)^{-8}}\)

i skorzystał z osobna ze wzoru de Moivre'a.

Można na parę sposobów. Jeden z nich polega na wykorzystaniu wzoru skróconego mnożenia a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) : 0=(z-1)^3-(1+2i)^3=\left[(z-1)-(1+2i)\right]\left[(z-1)^2+(z-1)(1+2i)+(1+2i)^2\right] co po uproszczeniu daje: 0 = \left[z-(2+2i)\right]\left(z^2-z(1-2i)-3+2i\right) z czego otrzymujemy...

Wystarczy zająć się przypadkiem, kiedy mamy trzy koła wzajemnie styczne do siebie - dalej powinieneś sobie umieć poradzić . Załóżmy, że wszystkie koła mają promień R . Wówczas środki tych kół tworzą trójkąt równoboczny. Jeżeli sporządzisz rysunek, zaznaczysz wskazany trójkąt, przekonasz się, że szuk...

Nie, to da tylko jedno z trzech możliwych rozwiązań. Dla zobrazowania, niech \(\displaystyle{ z=\tfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\), wówczas (sprawdź!):

\(\displaystyle{ z^3=1^3=1}\)

ale \(\displaystyle{ z\neq 1}\). Przejście \(\displaystyle{ x^3=y^3\Rightarrow x=y}\) jest uzasadnione w przypadku liczb rzeczywistych, dla zespolonych - co widać na załączonym obrazku - nie.

To, co napisałeś, może służyć jedynie za zarys - napisałeś "musi", ale w rzeczywistości nie poda Myślę, że na tym etapie możemy być nieco bardziej szczegółowi: to, co musimy pokazać, brzmi (przy przyjętych oznaczeniach): Homomorfizm \varphi_k\colon\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_n jest automorfi...