Matematyka.pl

Zakładam że chodzi o punkt T leżący na BC.
Pole trapezu to 10H, gdzie H to jego wysokość.
Pole trapezu CDSQ ( Q to środek BC) to 4H, więc pole trójkąta SQT powinno wynosić 1H. Tak jest, gdy wysokość tego trójkąta to H/5 więc szukanym stosunkiem jest 7/3

Muszą to być takie n-y, aby obie reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) przez \(\displaystyle{ n}\) wynosiły \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Tę własność ma tylko \(\displaystyle{ n=2}\) oraz \(\displaystyle{ n=3}\) , Do rozwiązania należy także \(\displaystyle{ n=4}\) i \(\displaystyle{ n=6}\), gdzie inne możliwe reszty wyklucza warunek ''\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\) ''.

Poprawne.

Dla ujemnych argumentów oba składniki lewej strony są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\).
Dla dodatnich argumentów lewa strona maleje w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) do minimum \(\displaystyle{ f(1)=8}\) , a rośnie dla \(\displaystyle{ x>1}\).
Łatwo odgadnąć jedyne możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\)

Istotnie, założyłem że pętle powstają "grafowo". I niestety, nawet nie pomyślałem o innej interpretacji treści zadania. A powinienem pomyśleć! Wersja ''geometryczna'' jest ciekawszą i bardziej złożoną grą, a na wynik istotnie wpłynie rozmieszczenie punktów i definicja pętli gdy punkty będą...

Gdy k+4=a^3 \ \ , \ a \in \NN \setminus \{0,1\} to k^2+5k+2=(a^3-4)^2+5(a^3-4)+2=a^6-3a^3-2=(a^2- \frac{1}{a})^3-5+ \frac{1}{a^3} Gdyby k^2+5k+2=b^3 to (a^2-2)^3 \le b^3<(a^2)^3 jednak żadne z równań: a^6-3a^3-2=(a^2-2)^3 \ \ , \ \ a^6-3a^3-2=(a^2-1)^3 nie ma naturalnych rozwiązań.

Jeśli żaden z graczy nie popełni błędu (czyli w pewnym ruchu narysuje odcinek domykający jakąś pętlę) to po 2009 ruchach powstanie drzewo (spójny prosty graf acykliczny) o 2010 wierzchołkach i 2009 krawędziach. Zachowanie acykliczności w 2010-tym ruchu wymaga połączenia drzewa z nowym nieistniejącym...

A nie uważasz, że gra w przypadku a) byłaby wyjątkowo debilna? To nie ma znaczenia, gdyż rolą autora jest tak pisać, aby treść była jednoznaczna, a nie obarczać rozwiązującego domyślaniem się co autor chciał napisać, lecz mu nie wyszło. Nb, gra z przypadku a) nie jest gorsza od ''gry'' z zadania nr...

Ad 2.
Nie bardzo wiadomo czy:
a) każdy z graczy ma własną sumą
b) suma jest wspólna i do niej naprzemian dodają 1 lub 2
W obu przypadkach wygra gracz pierwszy zaczynając od liczby 2.

Ad 1
Wygra pierwszy gracz po 2009 ruchach bez żadnej strategii.

Nie znam odpowiedzi, a intuicja (która jakże często mnie zawiodła !) sugeruje mi, iż problem jest nierozwiązywalny. Zastanawiałem się dla jakich wymiernych \frac{a}{b} (gdzie a,b są naturalne, względnie pierwsze i 3 \le a<b ) wyrażenie \frac{b}{a}- \frac{a}{b} + \frac{-1}{ab} jest naturalne. Kilka m...

Podbiję o 1 :
\(\displaystyle{ 3 \ , \ 3+2 \ , \ 3+2+2 \\
2 \ , \ 2+3 \ , \ 2+3+2}\)

Niech \angle ACN=2\alpha , środek AB to punkt 0, zaś przecięcie PQ z ON będzie punktem R. Odcinek ON jest prostopadły do CN więc \angle C0N=90^0-2\alpha oraz \angle CRN=2\alpha . Trójkąt AON jest równoramienny (bo dwa boki są promieniami półokręgu. więc \angle 0AN= \angle ONA=45^0-\alpha , a stąd \...

\cos(a+ib)= 3 \ \ , \ b \neq 0\\ \cos a \cos ib - \sin a \sin ib =3 \\ \cos a \cosh b - \sin a (i\sinh b) =3 \\ \begin{cases} \cos a \cosh b=3 \\ \sin a \sinh b=0 \end{cases} a=k2 \pi więc pozostaje rozwiązać równanie \frac{e^b+e^{-b}}{2}=3 , a stąd dwie rodziny rozwiązań: z_1=k2 \pi +i\ln (3-2 \sq...

A, B to liczby pięciocyfrowe spełniające warunki zadania. Jeśli suma cyfr A i B z miejsca jedności, i suma cyfr A i B z miejsca dziesiątek, .... i suma cyfr A i B z miejsca dziesiątek tysięcy nie przekroczy wartości 9, to suma cyfr liczby A+B wyniesie 20. Jeśli dokładnie na jednym miejscu suma cyfr ...

Jak przypuszczam, aktualna wersja 24 dotyczy wskazania wszystkich sytuacji gdy wieża nie może obejść wszystkich pól kwadratowej szachownicy. (np: gdy start następuje w A2, a meta w B2). Tak jest, panie Molu? [Zakładam że autobus podjeżdża na przystanek nr 1 pusty, a na przystanku nr 12 ostatni pasaż...