Matematyka.pl

Ad. 1. Pomińmy na razie założenia i rozwiążmy układ metodą analizy starożytnych - na końcu sprawdzimy otrzymane rozwiązania i ewentualnie odrzucimy pierwiastki obce. Zauważmy, że wartość największa, którą przyjmuje wyrażenie W(t)=-t^2+t=-t(t-1) wynosi W(\frac{1}{2})=\frac{1}{4} . Zatem wartość wyra...

Zadanie 1. Rozwiązanie: Oznaczmy liczby z treści zadania a_{1},a_{2},...,a_{15} Podzielmy liczby pierwsze na 2 grupy: Grupa I : Liczby pierwsze z przedziału <2,43> Grupa II : Liczby pierwsze z przedziału <47,\infty) Oczywiście nie ma liczb pierwszych w przedziale (43,47) Zauważmy, że 47^2=2209> 2009...

Kategoria: II - Licealista Przesyłam swoje rozwiązania zadań, mam nadzieję, że coś tam jest dobrze zad. 1 Rozważmy funkcję f(x)=\sqrt{x(1-x)} . Jej pierwsza pochodna zeruje się w punkcie x=\frac{1}{2} , zaś f''(0,5)<0 , stąd f(x) \le \frac{1}{2} . Otrzymujemy więc \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy(1-xy)} = y...

zad.1 Niech para liczb (x,y) będzie rozwiązaniem równania. Wtedy 4xy^3 + y^3 + \frac{1}{2} \ge 2x^2 + \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2 + 1 \\ y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-xy)^2} \le \frac{1}{2} stąd po dodaniu nierówności mamy 2x^2+1+y^6+y^3+2x^2 \le 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} ...

Uściślenie: w zadaniu 4 kategorii III mowa o skończonej grupie abelowej.

Konkurs matematyka.pl [/size] Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was konkurs. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, student. Regulamin Konkurs trwa od 18:00 3.07.2009 do 23:59 10.07.2009 W konkursie mogą ...

Załózmy ze pierwiastki oznaczamy przez a,b. Wzór na szescian sumy: (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^3=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) Wiemy, ze: \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2} \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}=\frac{9}{8} a wiec ab=2 czyli a+b=3 Równanie x^2...

Oznaczmy ramię trójkąta równoramiennego a, podstawę 2c, wysokość h, pole trójkąta P. Jeżeli obrócimy wokół podstawy otrzymamy bryłę złożoną z dwóch identycznych stożków, w które powstały przez obrót trójkąta prostokątnego, będącego połowa trójkąta równoramiennego. Zauważmy że objętość tego stożka j...

Zadanie 1 Znaleźć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego ABC, gdzie A(2,0), \ B(0,2) , wiedząc, że środkowe tego trójkąta AD i BE są do siebie prostopadłe. Rozwiązanie: Oczywiste jest, że ramionami tego trójkąta są boki AC i BC (w przeciwnym wypadku jedna z danych środkowych byłaby pros...

Obliczamy wyznaczniki: W=\left|\begin{array}{ccc}3&2&-3\\1&1&1\\2&-1&2\end{array}\right|=18 \\ W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}1-2m&2&-3\\m+4&1&1\\2m+2&-1&2\end{array}\right|=3m+9 \\ W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}3&1-2m&-3\\1&m+4&1\\2&am...

Zadanie 4 Dla jakich wartości parametru m, liczby x, y, z będące rozwiązaniem układu: \begin{cases} 3x+2y-3z=1-2m \\ x+y+z=m+4 \\ 2x-y+2z=2m+2. \end{cases} tworzą ciąg geometryczny? Rozwiązanie: Z drugiego i trzeciego równania: \begin{cases} \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{2}{3}m+\frac...

Zadanie 4: Ze zbioru liczb X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} losujemy kolejno dwie liczby (bez zwracania). 1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń: * A - suma wylosowanych liczb jest większa od 8 * B - za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą. 2. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 3. Jakie jest prawdopo...

Zadanie 2: Wykazać, że liczba x=99999+100000\sqrt{3} nie może być zapisana w postaci \left(a+b\sqrt{3}\right)^2 , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Sprawdzić też, że liczbę y=507+264\sqrt{3} da się w tej postaci przedstawić. Rozwiązanie: Przyjmijmy, że możliwe jest zapisanie liczby y=507+264\sqr...

Zadanie 1 Na paraboli x^{2}=2y znaleźć punkt, którego odległość od punktu A(1,1) jest najmniejsza. Rozwiązanie: Zdefiniujmy funkcję f(x) jako odległość punktu należącego do paraboli, mającego odciętą równą x od punktu A(1,1). Współrzędne tego punktu to (x; \frac{x^2}{2}) . f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(\frac...

X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} Liczba wszystkich możliwych wyników jest wariacją bez powtórzeń. V_6^2 = {6! \over (6-2)!} = 6 5=30 a) A=\{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5)\} Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A wynosi 8. P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15} B=\{ (2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), ...