Matematyka.pl

\frac{\ln (x^2+e^x)}{\ln (x^4 +e^{2x})} = \log_{(x^4 +e^{2x})}{(x^2+e^x)} = \log_{(x^4 +e^{2x})}{(x^2+e^x)^{2*\frac{1}{2}}}= \log_{(x^4 +e^{2x})}{(x^4+e^{2x}+2x^2e^x)^{\frac{1}{2}}}= \frac{1}{2} \log_{(x^4 +e^{2x})}{(x^4+e^{2x}+2x^2e^x)}=(...) \lim_{x \to 0}\quad \displaystyle 2x^2e^x = 0 , więc: (...

\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{x}+ \frac{cosx}{sinx}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{cosx}{sinx}-\frac{1}{x}}{2x}=(...do \ wspolnego \ mianownika...)= \lim_{x \to 0} \frac{x cos x - sin x}{2x^2 sin x} Otrzymujemy układ nieoznaczony, czyli stosujemy de L'Hospitala: (...)=\lim_{x \to 0} \frac{[x c...

1. \lim_{ x\to 0} \frac{cos(x+ x^{2} )-1}{\underbrace{sin x^{2}}_{x^2} } = \lim_{ x\to 0} \frac {\overbrace{cos(x) cos(x^2) - sin(x) sin(x^2)}^{cosinus \ sumy \ katow} - 1}{x^2}= (...) cos (0)=1 , więc: (...) \rightarrow \frac {1-sin(x) sin(x^2) -1}{x^2} \rightarrow -sin(x) \cdot \frac{sin(x^2)}{x^2...

a) 5 ^{x} -5 ^{3-x} = 20 5^x - 5^3 \cdot 5^{-x}=20 5^x - 125 \cdot 5^{-x}=20 Zmienna pomocnicza: 5^x=t , t>0 t-125t^{-1}=20 Teraz obustronnie pomnożyć przez t , w wyniku czego otrzymamy równanie kwadratowe. b) Dalej Analogicznie. 49 ^{x} - 6 \cdot 7 ^{x} + 5 = 0 7 ^{2x} - 6 \cdot 7 ^{x} + 5 = 0 c) 4...

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-1 = (\sqrt[3]{ \frac{1}{9}}-\sqrt[3]{ \frac{2}{9}}+\sqrt[3]{ \frac{4}{9}})^3}\)
"Wystarczy" wymnożyć prawą stronę.

\(\displaystyle{ (x-3)(x-3)-(x-3)(2x+9)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x-3-2x-9)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(-x-12)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x+12) (-12,3)}\)

Narysuj zbiór liczb zespolonych spełniających warunek \(\displaystyle{ |iz+6|=4}\). Jak to rozpisać?

\(\displaystyle{ W(x)=512x^2-16x-1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=48^2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=512(x-\frac{16+48}{1024})(x-\frac{16-48}{1024})...}\)

\begin{cases} 2x+y=3\\ mx+(m-1)y=3\end{cases} W= ft| \begin{array}{cc}2&1\\m&m-1\end{array} \right| =m-2 W_x= ft| \begin{array}{cc}3&1\\3&m-1\end{array} \right| =3m-6 W_y= ft| \begin{array}{cc}2&3\\m&3\end{array} \right| =6-3m 1^0 x=\frac{W_x}{W}=\frac{3(m-2)}{m-2}=3, m 2 y=...

\(\displaystyle{ \frac{ k}{ x}=2x siny}\)
\(\displaystyle{ \frac{ k}{ y}=x^2 cos y}\)

\(\displaystyle{ g'(x_0)=0 g'(-1)=-x^2+2tx+3=0}\)
\(\displaystyle{ -1-2t+3=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)

Zaczynamy od narysowania |2x-4|+|x-1| na wykresie (najwygodniej chyba jest podzielić na przedziały). Następnie wyznaczamy, ile razy funkcja stała m=const przecina ten wykres w zależności od wartości m . Dochodzimy do nast. wniosków: Dla m (- ,3) - brak rozwiązań, dla m=3 - dokładnie jedno rozwiązani...

Nie, funkcje trygonometryczne są okresowe, nie są więc zbieżne.
\(\displaystyle{ sinx}\) zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ }\), dzieląc to przez \(\displaystyle{ \infty}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}sin x 0}\).

Równanie to ma postać: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 , położenie środka S=(a,b) Z treści zadania wynika, że wszystkie wierzchołki trójkąta należą do tego okręgu, wystarczy więc podstawić: \begin{cases} (A_x-a)^2+(A_y-b)^2=r^2 \\ (B_x-a)^2+(B_y-b)^2=r^2 \\(C_x-a)^2+(C_y-b)^2=r^2 \end{cases} \begin{cases} (A_x-...

z_1=2+1 \sqrt{3} to liczba rzeczywista, zakładam że chodziło o z_1=2+i \sqrt{3} z_1+z_2=2+i\sqrt{3}+1-i=3+(\sqrt{3}-1)i z_1*z_2=(2+i\sqrt{3})(1-i)=2+i\sqrt{3}-2i+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}+(\sqrt{3}-2)i \frac{z_1}{z_2}=\frac{(2+i\sqrt{3})(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+i\sqrt{3}+2i-\sqrt{3}}{1+1}=1-\frac{\sqrt...