Matematyka.pl

a)
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{3}lny \wedge y>0}\)
b) funkcja nie jest 1-1 wobec tego nie istnieje funkcja odwrotna

\(\displaystyle{ EX= \int_{1}^{ \infty } x \cdot \frac{3}{x^4}dx=3 \cdot - \frac{1}{2}x^{-2} | _1^{ \infty }= \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2=3- \frac{9}{4}= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ EX^2=\int_{1}^{ \infty } x^2 \cdot \frac{3}{x^4}dx=3}\)

Dla mnie powinno być tak

\(\displaystyle{ \left|A \right|= {333 \choose 1} {667 \choose 2} + {333 \choose 2} {667 \choose 1} + {333 \choose 3} {667 \choose 0}}\)

1. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3^{20}}}\)

2.\(\displaystyle{ {11 \choose 7} (3x)^4(- \frac{1}{ \sqrt{3} })^7}\)

Zbieżny z kryterium porównawczego
\(\displaystyle{ \ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n+1}{3n^3+n} \le \ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n+2n}{3n^3} \le \ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n^2}}\)

Zbieżny z kryterium porównawczego
\(\displaystyle{ \ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \le\ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n^2}}\)

najpierw dla n=1 2^3 \cdot3^1+5-4=25 Czyli jest podzielne przez 25 Zakładamy że jest prawdziwe dla jakiegoś n. Wobec tego istnieje k naturalne takie, że 2^{n+2} \cdot 3^n+5n-4=25k \Leftrightarrow 2^{n+2} \cdot 3^n=25k-5n+4 Trzeba pokazać,że dla n+1 też jest podzielne 2^{n+1+2} \cdot 3^{n+1}+5(n+1)-4...

\(\displaystyle{ {19 \choose 11} \cdot {9 \choose 5} \cdot {4 \choose 4}}\)
Najpierw wybieramy miejsca dla zer, zero nie może być na początku dlatego też mamy 19
następnie z pozostałych 9 miejsc wybieramy miejsca dla dwójek i następnie zostają już nam miejsca dla jedynek

A może to Ci pomoże
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{e^x})^x \le (1+ \frac{1}{x^2})^x \rightarrow 1}\)

tak

Przepraszam mój błąd tam powinno być \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{- \frac{1}{x-1} }{(ln(x-1))^2} }=\lim_{x \to 1} \frac{(ln(x-1))^2}{- \frac{x}{x-1} } = \lim_{x \to 1} \frac{2ln(x-1) \frac{1}{x-1} }{ \frac{1}{(x-1)^2} }= \lim_{x \to 1} \frac{2ln(x-1) }{ \frac{1}{x-1} }=\lim_{x \to 1} \...