Matematyka.pl

No prawie dobrze: e^{-\frac{1}{x} \cdot \ln x } \cdot \left( \frac{1}{x^{2}} \cdot \ln x -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \right) A to można jeszcze uprościć korzystając z własności log a rytmów: x^{ -\frac{1}{x}} \cdot \left( \frac{1}{x^{2}} \cdot \ln x -\frac{1}{x^2} \right) A i jeszcze powinno być ...

Zgadza się, ale skorzystaj ze wzoru pochodnej z iloczynu dwóch funkcji:

\(\displaystyle{ (f \cdot g)^{'}=f^{'} \cdot g+f \cdot g^{'}}\)

Nie wpisałeś w mianowniku tylko w wykładniku - tak nie w wykładniku tylko "obok". A poza tym źle policzyłeś tą pochodną wewnętrzną.
\(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{x} \ln x \right) ^{'}}\) ile jest?

Źle. Skorzystaj z powiedzonka kolegi: "Pochodna z e do czegoś równa się e do czegoś razy pochodna tego czegoś" \left( e^{- \frac{1}{x} \ln x } \right) ^{'}=e^{- \frac{1}{x} \ln x } \cdot \left( - \frac{1}{x} \ln x } \right) ^{'} Skorzystaj także ze wzoru: (f \cdot g)^{'}=f^{'} \cdot g+f \c...

\(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{x} \right) ^{'}=- \left( x^{-1} \right) ^{'}=- \left( -1 \right) \cdot x^{-2}=x^{-2}= \frac{1}{x^2}}\)
Skorzystałam ze wzoru na pochodną:
\(\displaystyle{ (x^{\alpha})^{'}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 3^{n+1}}{5 \cdot 3^n} =\frac{5 \cdot 3^{n} \cdot 3}{5 \cdot 3^n}}\)
Coś Ci się skróci.

Tak i teraz z takiej funkcji policz pochodną.

Do obliczania pochodnych funkcji złożonych \(\displaystyle{ f^g}\) stosujemy wzór:
\(\displaystyle{ f^{g}=e^{g \cdot \ln f }}\)
Zamień swoją funkcję według tego wzoru a następnie licz pochodną.

Tak, tylko zgubiłeś znak pochodnej:
\(\displaystyle{ (\ln( \sin ^ {2}x+1))^{'}= \frac{1}{ \sin ^ {2}x+1} \cdot ( \sin ^ {2}x+1)^{'}= \frac{1}{\sin ^{2} x+1} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x +0=\frac{1}{\sin ^{2}x +1} } \cdot \sin 2 x}\)

\(\displaystyle{ (\ln( \sin ^ {2}x+1))^{'}= \frac{1}{ \sin ^ {2}x+1} \cdot}\)"pochodna wewnętrzna"

Zgadza się.

\(\displaystyle{ W=x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4)}\)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)

A więc:
\(\displaystyle{ x^2-4=...}\)

Nieco mniejszego, mam na myśli np. 1,999999999999999999999999999....

\(\displaystyle{ x=0}\) to punkt podejrzany o ekstremum.

Sprawdzamy dwa przedziały:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ (- \infty ,-1) \cup (-1,0)}\) np.x=-2
\(\displaystyle{ f^{'}(-2)>0}\)

\(\displaystyle{ \bullet (0, 1 ) \cup (1, \infty )}\) np.x=2
\(\displaystyle{ f^{'}(2)<0}\)

Widzimy zmianę znaku pochodnej z dodatniej na ujemną, więc punkt \(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow maximum}\)

Podstawiłaś "coś nieco" większego niż 2. Teraz podstaw "coś nieco mniejszego" niż 2.