Matematyka.pl

Jeśli chcesz bez pochodnych (i "trickowo"), to możesz np. zacząć od zastanawiania się nad tym, dla jakich m równanie f(x)=m ma dokładnie jedno rozwiązanie. Po przekształceniu i podniesieniu do kwadratu jest to już równanie kwadratowe zmiennej x z parametrem m - wystarczy zbadać, dla jakich...

Patryk, Pokazujesz, że wszystkie są parzyste (czyli warto użyć pewnego modulo 2^k ), zapisujesz x=2x_1 , itp., pokazujesz, że wszystkie x_1, y_1, z_1, t_1 są parzyste, i tak wielokrotnie powtarzając tę procedurę (a możesz, bo...) okaże się, że x, y, z, t są podzielne przez 2^{1005} , a to wystarczy.

Co do prób pokazania zbieżności (choć nie trzeba tego robić), widać, że fajnie by było ograniczyć indukcyjnie a_n przez sumy częściowe jakiegoś szeregu \sum b_k , który jest zbieżny. Widać, że tempo b_k=\frac{a}{k^2} jest trochę za słabe na spokojne użycie indukcji tutaj (jak ktoś spróbuje, zobaczy,...

Jest OK, tak naprawdę stosujesz schemat Hornera (ten "informatyczny", do szybkiego obliczania wartości wielomianu) dla wielomianu 2x^4+8x^3+3x^2+6x+7 , a następnie bierzesz x=10 , jako podstawę systemu dziesiętnego. Innymi słowy, nawiasujesz sobie tak: 28367=((((2 \cdot 10+8)\cdot 10)+3)\c...

Moja idea do zadania 8: n=1 odpada, dla n=2 ideę podał powyżej @niepozorny , dla n=3 przykład, który pokazuje ideę "tabliczki mnożenia" przy n \ge 3 : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $a_{1,1}^2$ & $a_{1,2}^2$ & $a_{1,3}^2$ & $=w_1^2$ \\ \hline $a_{2,1}^2$ & $a_{2,2}^2$ &a...

Niech g(t)=t^2-6t+13 . Delta jest ujemna, stąd g jest ściśle dodatnia. Ponieważ g(x), g(y), g(z) są dodatnie, to odpowiednio y, z, x również są dodatnie. Ponadto, wierzchołek paraboli g jest przy t=3 , więc g jest ściśle rosnąca na [3,infty) . Wspomnijmy (późniejsze detale techniczne), że g(2)=g(4)=...

Wystarczy użyć \(\displaystyle{ z=tv+(1-t)w}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in(0,1)}\), a także kilka razy własności \(\displaystyle{ |z|^2=z\overline{z}}\).

Bardzo dobrze

Jeśli masz rozkład n! na sumę n dzielników, to natychmiast masz rozkład (n+1)! na sumę n dzielników. Pytanie, jak zrobić z tego n+1 dzielników - intuicja raczej jasna, trzeba jakiś dzielnik rozbić na sumę dwóch dzielników. No i, żeby przy tym rozbijaniu nie stracić własności "różnych" dzie...

Wielkie gratulacje

Nowy wpis - przemyślenia o studiach i początek mojej historii związanej ze studiami matematycznymi

(11) Kluczowa dobra decyzja w moim życiu – nie wziąłem drugiego kierunku studiów
... u-studiow/

Wystarczy pokazać, że x^{19} jest bijekcją. Jeśli x=0 , to x^{19}=0 , a z pozostałych przypadkach proponuję poniższe podejście (wszystko jest w \ZZ _{43} ). Jeśli x, y \neq 0 , to znajdźmy taką liczbę k , że 19k \equiv 1 \pmod{42} . Aha, wiemy, że takie k istnieje, bo NWD(19,42)=1 . No ale jak chcem...

W końcu znalazłem chwilę, żeby przysiąść. Zadanie nr 18 z 1. dnia - chodzi o to, że... ...niektóre liczby są w kilku trójkach pitagorejskich. Na przykład gdyby ten większy promień byłby 24 , to mniejszy promień równy 2 , a środkowy promień równy 1 spełniają warunki zadania. Skąd pomysł? 24^2+7^2=25^...

Wracając do tematu, ja również utrzymuję się z korepetycji. Przygotowuję zdolnych uczniów do konkursów i olimpiad. Mało jest takich korepetytorów, w związku z czym to ja w praktyce decyduję, ilu i jakich uczniów chcę przyjąć. Lubiłem konkursy/olimpiady, ale szczerze mówiąc, ja miałem zupełnie inne p...

Jeśli chcecie zobaczyć, że Perspektywy nie były konsekwentne w stosowaniu swojej zasady (a dokładniej – użyły innej zasady, o której nie powiedziały – jakiej?), rzućcie okiem na Ranking Uczelni Akademickich 2018 – chodzi mi np. o miejsca nr 12 i nr 17. Przyjmijmy założenie, że mamy ranking 200 podm...