Matematyka.pl

\lim_{ n\to \infty }\frac{cos \frac{3}{ \sqrt{n} } -1}{ \frac{1}{n} }=\lim_{ n\to \infty }\frac{ \frac{3}{2 \sqrt[3]{n^2} } sin \frac{3}{ \sqrt{n} } }{ -\frac{1}{n^2} }=\lim_{ n\to \infty }\frac{ \frac{3}{2 \sqrt[3]{n^2} } sin \frac{3}{ \sqrt{n} } \cdot \frac{3}{ \sqrt{n} } }{ -\frac{1}{n^2} \cdot ...

powinno tam być
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x=0 \\ \frac{2lny}{y=0} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ f_{yy}= \frac{2 \frac{1}{y} \cdot y-2lny }{y^2}}\)

bo \(\displaystyle{ \frac{x}{e^x} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ -4cos2x \rightarrow -4}\)

\(\displaystyle{ cosx \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ 2cos^2x \rightarrow 2}\)

\(\displaystyle{ -2sin^2x \rightarrow 0}\)

\lim_{x \to 0 ^{+} } \left(e ^{\frac{1}{x}} +1 \right) ^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty } \left(e ^{x} +1 \right) ^{x}= \infty \lim_{x \to 0 ^{-} } \left(e ^{\frac{1}{x}} +1 \right) ^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^+ } \frac{1}{( \frac{1}{e ^{\frac{1}{x}}} +1 ) ^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to \infty } \fr...

a) log_35 \cdot log_{25}81=log_35 \cdot \frac{log_381}{log_325}=log_35 \cdot \frac{4}{2log_35}=2 b) \left( \frac{3}{2} \right) ^{1+ \frac{1}{1-log _{3}2 } }=\left( \frac{3}{2} \right) ^{ \frac{2-log_32}{1-log_32} }=\left( \frac{3}{2} \right) ^{ \frac{2log_33-log_32}{log_33-log_32} }=\left( \frac{3}{...

\frac{2sin\alpha-sin2\alpha}{2sin\alpha+sin2\alpha}= \frac{2sin\alpha-2sin\alpha cos\alpha}{2sin\alpha+2sin\alpha cos\alpha}= \frac{2sin\alpha(1-cos\alpha)}{2sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{(1-cos\alpha)}{(1+cos\alpha)}= \frac{ \frac{1-cos\alpha}{2} }{ \frac{1+cos\alpha}{2} } = \frac{sin^2 \frac{\a...

d-przekątna naszego prostokąta
60-kąt pod jaki przecinają się przekątne
Pole trójkąta równobocznego wynosi \(\displaystyle{ P= \frac{d^2 \sqrt{3} }{4}}\)
Pole prostokąta \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot d^2sin60= \frac{1}{2} \cdot d^2 \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{d^2 \sqrt{3} }{4}}\)
Czyli są równe.

m-ilość wykopanej ziemi na godzinę przez małą koparkę d-ilość wykopanej ziemi na godzinę przez dużą koparkę v-objętość dołu \begin{cases} 7(m+d)=v \\ 9d=v \\mx=v \end{cases} \begin{cases} 7m+7d=9d \\ 9d=v\\mx=v \end{cases} \begin{cases} d= \frac{7}{2} m \\ 9 \cdot \frac{7}{2} m =v\\mx=v \end{cases} ...

\(\displaystyle{ cos2x(1+tgxtg2x)=1 \Rightarrow cos2x(1+ \frac{sinxsin2x}{cosxcos2x})=}\)

\(\displaystyle{ cos2x \cdot \frac{cosxcos2x+sinxsin2x}{cosxcos2x} =1 \Rightarrow\frac{cosxcos2x+sinxsin2x}{cosx} =1 \Rightarrow \frac{cosx}{cosx}=1 \Rightarrow 1=1}\)
Jest to tożsamość w punktach należących do dziedziny

\(\displaystyle{ 99 \cdot (10^{2}+1)(10 ^{4}+1)(10 ^{8}+1) ... ( 10^{64}+1 )=(10^2-1) (10^{2}+1)(10 ^{4}+1)(10 ^{8}+1) ... ( 10^{64}+1 )=(10^4-1) \cdot (10 ^{4}+1)(10 ^{8}+1) ... ( 10^{64}+1 )=}\)
\(\displaystyle{ =...=(10^{64}-1)(10^{64}+1)=10^{128}-1}\)

\begin{cases} 5x+10y=0,35 \cdot (-20) \\ 22 \frac{2}{9}x+22 \frac{2}{9}y=1 \end{cases} \begin{cases} -100x-200y=-7 \\ 200x+200y=9 \end{cases} dodajemy stronami \begin{cases}-100x-200y=-7 \\ 100x=2 \end{cases} \begin{cases} -200y=-5 \\ x=0,02 \end{cases} \begin{cases} x=0,02 \\ y=0,025 \end{cases}