Matematyka.pl

Dasio11, Miałem podaną taką definicję zbieżności:
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \RR \ \forall n>N \left| \left| \vec{v}_{n}- \vec{v} \right| \right|< \varepsilon}\)

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \vec{v}_{n} \in E_{k}, \ k \in \NN, \ \vec{v}_{n}=(x_{n,1},...,x_{n,k}).}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{v}_{n} \rightarrow \vec{v} \Leftrightarrow \forall i =1,...,k \ x_{n,i} \rightarrow
x_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}=(x_{1},...,x_{k}).}\)

karolex123, czy dobrze rozumiem, że w a) \(\displaystyle{ IntD=\emptyset, \ \partial D=D}\), a w b) \(\displaystyle{ IntD=D, \ \partial=\left\{ (x,y):xy=0\right\}?}\)

Potrzebuję znaleźć \(\displaystyle{ IntD}\) oraz \(\displaystyle{ \partial D}\) dla:
a) \(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y):x,y \in \QQ\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y):xy>0\right\}}\)

Niech \(\displaystyle{ V=C[0,1]}\) z normą \(\displaystyle{ \left| \left| f\right| \right|=\sup_{x\in [0,1]}\left| f(x)\right|}\).

Jak wyznaczyć kulę \(\displaystyle{ K(f_{0},1)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_{0}(x)=x, \ x \in [0,1]}\) ?

szw1710, jeżeli narysuję zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) to otrzymam otwarty romb, który nie jest kulą. To czemu mam w poleceniu aby wyznaczyć kulę?

Proszę o naprowadzenie jak zrobić to zadanie, bo nie za bardzo go rozumiem.
Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ \phi :\RR^{2} \rightarrow \RR, \ \phi( \vec{v})=\left| a\right|+\left| b\right|}\), która jest normą na \(\displaystyle{ \RR^{2}}\). Mam wyznaczyć kulę \(\displaystyle{ K(0,1)}\) w tej normie.

Czy ta nierówność jest prawdziwa i dlaczego (na mocy której własności)?

\(\displaystyle{ ||a|-|b||+||c|-|d|| \ge ||a+c|-|b+d||}\)

Dziękuję bardzo za wskazówki

Dasio11, taki miałem podany: \(\displaystyle{ a \times b=(a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k}) \times (b_{1} \vec{i}+b_{2} \vec{j}+b_{3} \vec{k})}\) Mam pokazać, że odwzorowanie jest liniowe dla iloczynu wektorowego.

Jak wykazać, że iloczyn wektorowy należy do \(\displaystyle{ L_{2}(\RR^{3},\RR^{3})?}\)

Mam wyznaczyć wszystkie odwzorowania \(\displaystyle{ A \in L(\RR^{2},\RR^{2})}\) takie, że \(\displaystyle{ A^{2}=id, id(v)=v}\). Mam jeszcze podaną wskazówkę żeby zauważyć, że odwzorowanie \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalne i \(\displaystyle{ detA= \pm 1}\)

Dasio11, może być taki kontrprzykład? \(\displaystyle{ f(x)=-x^{2}+2, g(x)=-x^{2}+4?}\)

Czy dobrze myślę, że \(\displaystyle{ \phi:V \rightarrow \RR}\) \(\displaystyle{ \left( V=C[a,b]\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi(f)=\sup _{x\in [a,b]}f(x)}\) nie jest funkcjonałem liniowym, gdyż:

\(\displaystyle{ \phi(f+g)=\sup _{x\in [a,b]}(f+g)(x) \neq \sup _{x\in [a,b]}f(x)+\sup _{x\in [a,b]}g(x)?}\)

karolex123 , czy to jest dobrze? Niech c \in \RR \sum_{n=1}^{ \infty }\left| ca _{n}+cb_{n} \right|=\sum_{n=1}^{ \infty }\left| c\right| \left| a _{n}+b_{n} \right|=\left| c\right| \sum_{n=1}^{ \infty }\left| a _{n}+b_{n} \right| \le \left| c\right| \sum_{n=1}^{ \infty }\left| a _{n} \right|+\left|...