Matematyka.pl

Mam problem z
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{{\left( 1+x\right) }^{x}-e}{x}}\)
Próbowałem to raz z hospitala i nic nie wychodzi.
Myślałem żeby to jakoś w szereg rozwinąć ale nie mam pomysłu jak.

Mam zadanie:
Wyznaczyć wszystkie wartości \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) dla których następujące szeregi są zbieżne:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{2n^2+1} x^{n}}\)
Domyślam się że tu będzie kryterium Leibniza zastosowane, tylko nie za bardzo rozumiem jak je powinienem "użyć".

MOi studenci maja na to sposób =\int e^xdx+\sqrt{2}\int\sqrt{x}dx\int e^{x/2}dx+\int 2dx , ale tu jej nie polecam. Całka nie jest elementarna Znowu literówka... \int_{}^{} \sqrt{e^{2x}+2 e^{x}+4} dx -- 11 lut 2019, o 22:52 -- MOi studenci maja na to sposób =\int e^xdx+\sqrt{2}\int\sqrt{x}dx\int e^{...

Mam problem z :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{e^{2x}+2x e^{x}+4} dx}\)
Edit: Literówka w całce było \(\displaystyle{ e^2x}\) powinno być \(\displaystyle{ e^{2x}}\)

arek1357 pisze:Nie rozumiem waszych intencji, no przecież:

\(\displaystyle{ ( \infty -0) \cdot e^{-0}= \infty \cdot \frac{1}{e^0}= \frac{ \infty }{1}= \infty}\)

Ale, przecież jest jeszcze minus \(\displaystyle{ x}\) na końcu...

Mam problem z granicą \lim_{ x \to \infty} \left( x-\frac{3}{x}\right) e^{\frac{-2}{x}}-x=\lim_{ x \to \infty}\frac{ \left( x-\frac{3}{x} \right)-xe^{\frac{2}{x}}}{e^{\frac{2}{x}}} Później chciałem podzielić sztucznie mianownik i licznik, przez x i dalej z hospitala ale rachunkowo mi nic nie wychodzi.

No mamy \lim_{ x\to 1^-} \left( \tan\frac{\pi x}{2} \right) ^{1-x}=\lim_{ x\to 1^-} e^{ \left( 1-x \right) \ln \left( \left( \tan\frac{\pi 1-t}{2} \right) \right)} Rozważamy wykładnik \lim_{ x\to 1^-} {{ \left( 1-x \right) \ln \left( \tan\frac{\pi x}{2} \right) = \lim_{ t\to 0^-} t \ln \left( \tan\f...

Jan Kraszewski pisze:

Unforg1ven pisze:Czy mógłby pan rozwinąć?

Ale co rozwinąć? Zrób takie podstawienie. Wiesz, na czym polega podstawienie?

JK

Nie o to mi chodziło, zadam to samo inaczej pytanie: co dalej?

Jan Kraszewski pisze:Ja bym zaczął od podstawienia \(\displaystyle{ t=1-x}\).

JK

Czy mógłby pan rozwinąć?

Zaratustra pisze:Zapisz \(\displaystyle{ \tan x ^{\tan 2x}}\) jako \(\displaystyle{ e^{\ln ({\tan x}^{\tan 2x})}\) i potem skorzystaj z własności logarytmu i ciągłości funkcji wykładniczej.

Tyle to ja wiem.. ale jak to dalej pokazać?

Gafa-> Z tego co rozumiem, można by tak to uzasadnić \text{szereg jest rozbieżny} \Leftrightarrow \text{ciąg sum częściowych jest rozbieżny} . Pokazałeś, że jak weźmiesz dwa podciągi sum częściowych to są one zbieżne do różnej granicy. Zatem z twierdzenia, że ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, g...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^-} \left( \tan\frac{\pi x}{2} \right) ^{1-x}=\lim_{ x\to 1^-} e^{ \left( 1-x \right) \ln \left( \left( \tan\frac{\pi x}{2} \right) \right)}\)
I na to już nie mam kompletnie pomysłu.

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0}\frac{\left( 1-\cos x \right) \sin\frac{1}{x}}{\sin x}}\)
Próbowałem tradycyjnych metod rozwinięcia w szereg lub hospitala, jednak albo zakopuje się w rachunkach albo wychodzi mi coś paskudnego.

a4karo pisze:\(\displaystyle{ t=\tg x}\)

A jakoś jeszcze prościej?