Matematyka.pl

Określ liczbę rozwiązań układu równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y+6=0 \\ y=3x ^{2}-3(m-1)x-m ^{2} -2 \end{cases}}\) w zależności od parametru m.

Wyznacz takie wartości a , dla których pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) równania \(\displaystyle{ x ^{2} - 2 x + 2a ^{2} - 1 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ 3x _{1} + 4x _{2} = 7.}\)

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= (2-m ^{2} )x ^{2} + 4mx + 4m}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe i suma odwrotności miejsc zerowych jest mniejsza od \(\displaystyle{ (-m ^{2} )}\)

Dana jest funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)= -x ^{2} + (4m-2)x + m – 5}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\displaystyle{ (- \infty ,6 >.}\)

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x ^{2} + (3m - 2)x + m + 2}\). Wyznacz w zależności od parametru m wzór funkcji \(\displaystyle{ g(m) = \frac{1}{x _{1} } + \frac{1}{x _{2} }}\) , gdzie \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji f, oraz podaj zbiór wartości funkcji g.

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x ^{2} - kx – 2k ^{2}}\) . Wyznacz zbiór wartości parametru k , dla których funkcja ma dwa różne miejsca zerowe mniejsze od 6.

Dla jakich wartości parametru m równanie posiada jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ ((m+1)x ^{2} - 2x + m – 1) \cdot \log(x)= 0.}\)

Dla jakich wartości parametru m równanie posiada trzy rozwiązania: \(\displaystyle{ \sqrt{9-x} ((m+1)x ^{2} - 2x + m – 1) = 0.}\)

Dany jest okrąg o równaniu x ^{2} + y ^{2} - 2x + 6y + 5 = 0 a) Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu x - 2y = 0 b) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie A i B są punktami przecięcia tych stycznych z prostą o równaniu 3x–y+4= 0 , a S jest środkiem danego okręgu.

Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x) = (x-2) ^{2m} + (x-1) ^{m} – 1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x-2)}\) dla każdego \(\displaystyle{ m є N+}\)

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x+3}{x+4}}\)
a) Wyznacz asymptoty wykresu funkcji;:
b) Narysuj wykres funkcji \(\displaystyle{ g(x)=│f(x)│}\);
c) Podaj przedziały w których funkcja y=g(x) jest rosnąca.

Dla jakich wartości parametru m różnica pierwiastków równania \(\displaystyle{ (m - 2)x ^{2} – (m-4)x – 2 = 0}\)wynosi 3 ?

Funkcje \(\displaystyle{ f(x) = -2x ^{2} -2}\), \(\displaystyle{ g(x) = x ^{2} +2ax + a ^{2} + 1}\)i \(\displaystyle{ h(x) = 4x ^{2} + b ^{2}}\) mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x , liczby f(x), g(x) i h(x) tworzą (w pewnej kolejności) ciąg geometryczny. Wyznacz możliwe ilorazy tego ciągu.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) , dla których równanie: \(\displaystyle{ x ^{2} +2xsin \alpha - cos ^{2} \alpha = 0}\) ma dwa różne rozwiązania, których suma sześcianów jest równa zero.

Punkt S(-1,2) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne (-1,-3), a bok BC jest zawarty w prostej o równaniu 7x+y-20=0. Oblicz pole trójkąta ABC.