Matematyka.pl

proponuję
\(\displaystyle{ b=a ^{2}-1 }\), \(\displaystyle{ c=b ^{2} +b}\)
Wynik dzielenia \(\displaystyle{ a-1}\)

Spośród liczb 1,2,3,...,199,200 wybrano 101 liczb. Dowieść, że wśród nich są CO NAJMNIEJ dwie takie, że jedna jest dzielnikiem drugiej. Wydaje mi się, że niezbędne jest CO NAJMNIEJ? A gdyby podejść do tematu od "d..py" strony. Ile można wybrać liczb z których żadna nie jest dzielnikiem dr...

ja patrzyłem tak:
Z trzech kolejnych liczb dokładnie jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) jedna jest w postaci \(\displaystyle{ 2 ^{n} }\) druga jest pierwsza .
Szukałem jedynie czy rozkład na czynniki liczb obok pierwszej ma jakąś zasadę. Nie znalazłem.

Janusz Tracz pisze: ↑11 sie 2023, o 12:34
A nawet nieprawdziwa \(\displaystyle{ 2^4-1-1=14.}\)

\(\displaystyle{ 15}\) to liczba Mersenne'a?

Dodano po 2 minutach 25 sekundach:
Faktycznie chodziło o liczby pierwsze Mersenne'a?
Tak to jest jak się człowiek zafiksuje.

Czyli: 1\cdot 1\cdot (7\cdot 17^2) 1\cdot 7\cdot (17^2) 1\cdot 17\cdot (17\cdot 7) 7\cdot 17\cdot 17 Dodano po 1 dniu 1 godzinie 1 minucie 51 sekundach: Re: Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych ma równanie Tak sobie gdybałem: gdyby w miejsce liczby 2022 wstawić liczbę pierwszą . Jak wyglądałoby...

pisze: ↑8 sie 2023, o 09:16 Ponadto wydaje mi się( nie wiedzieć czemu ), że teza będzie spełniona dla wszystkich liczb całkowitych

Nie będzie. Jest tego multum i wszystkie różne
\(\displaystyle{ -74, 10, -10}\)
\(\displaystyle{ -56, 8, -8}\)
\(\displaystyle{ -47, 8, -8}\)
\(\displaystyle{ -26, 6, -6}\)
\(\displaystyle{ -11, 4, -4}\)
Z naturalnych
\(\displaystyle{ 0, 0, 4}\)
\(\displaystyle{ 0, 0, 9}\)
\(\displaystyle{ 0, 0, 16}\)

Znalazłem \(\displaystyle{ 4}\) zestawy liczb (razem \(\displaystyle{ 15}\)):
\(\displaystyle{ 0, 0, 2022}\)
\(\displaystyle{ 0, 6, 288}\)
\(\displaystyle{ 0, 16, 118}\)
\(\displaystyle{ 6, 16, 16}\)
Więcej nie ma

Czyli \(\displaystyle{ 123^{456 ^{789} }= ...1361 }\)

Licząc na palcach
i)\(\displaystyle{ 1}\)
ii) \(\displaystyle{ 6}\)
iii) \(\displaystyle{ 9}\)

Dodano po 3 godzinach 58 minutach 51 sekundach:
Ile wyniesie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 456^{789} }\) przez \(\displaystyle{ 100}\)?
Coś mi nie pasuje.

Dodano po 7 minutach 42 sekundach:
Jeszcze przez \(\displaystyle{ 125}\)?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sie 2023, o 12:25

Brombal pisze: ↑9 sie 2023, o 11:55 Ale \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\) nie są względnie pierwsze.

A dlaczego?

JK

Dlatego, że źle spojrzałem do Wiki
Chodziło mi o \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑9 sie 2023, o 09:39 Liczba \(\displaystyle{ 1 }\) jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.

Faktycznie - zdziwko mnie chapło chociaż to oczywiste z definicji. Ale \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\) nie są względnie pierwsze.

Slup pisze: ↑9 sie 2023, o 09:00
czyli \(\displaystyle{ b = 1}\). Dla \(\displaystyle{ b = 1}\) dostajemy \(\displaystyle{ a = 1}\).

czy \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są względnie pierwsze?

mol_ksiazkowy pisze: ↑8 sie 2023, o 10:03 może być też \(\displaystyle{ a=b=0}\) ...

Nie są względnie pierwsze bo obie dziela sie bez reszty przez \(\displaystyle{ 17251}\)

Dla dużych liczb mi się rozjechało dlatego nie mam argumentów

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) - musza być obie nieparzyste. Parzyste nie są względnie pierwsze . Chyba, że \(\displaystyle{ a<0}\)
przykłady:
\(\displaystyle{ a=-2}\), \(\displaystyle{ b=1}\)
\(\displaystyle{ a=5}\), \(\displaystyle{ b=3}\)