Matematyka.pl

Znaleźć naturalne \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 2^{n+2}(2^{n}-1)-8\cdot 3^{n}+1}\) jest kwadratem.

\(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\) takie że \(\displaystyle{ a+b>0}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ a^{2}+b+\frac{1}{a+b}\geq\frac{7}{4}}\)

1) wektory sa rowne gdy maja rowne wspolrzedne. Gdyby nie byly na prostych rownoległych to nie moglyby miec rownych wspolrzednych (bo stosunek wspolrzednych to wspolczynnik kierunkowy prostej na ktorej wektor sie znajduje). Nie jest wystarczajacy bo mogą mieć różna długość i wtedy nie beda rowne, np...

"Zadania z matematyki dla Olimpijczykow, gimnazjalistów i licealistów"

Sylwek kiedyś pisał o rozwiązaniu które podobno dało zwycięzcy pierwsze rozwiązanie bo było kilka maxów i wybrali gościa który rozwiązał to za pomocą nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ x^6+1+1+1+1+1 \ge 6 \sqrt[6]{x^6}=6x}\)
Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x^6=1}\)

kongruencje w tym przypadku to troche rozwiazanie nie na miejscu. mysle ze autor chce prosty, szkolny i jasny dowod a nie uzywanie narzedzia w szkole nieznanego.

ile jest rowny pierwszy nawias?

Miało być \(\displaystyle{ ln x=ln( \sqrt{x}^2 )=2ln \sqrt{x}}\)

dziedzina to \(\displaystyle{ x-1>0 \wedge x-1 \neq 1 \Leftrightarrow x>1 \wedge x \neq 2}\)
x ktory otrzymales nalezy do dziedziny czyli jest rzeczywiscie rozwiazaniem.

Sprawdzilem, ta wyjsciowa funkcja ciagle rosnie, od -1 jest dodatnia. Czyli prosty rachunek pochodnych zalatwi sprawe

to można pokazać że wielomian w tym przedziale nie zmienia znaku, co bedzie rownowazne z tym co chcemy. A do tego najprosciej pochodna:) Nie sprawdzalem jak wychodzi tutaj ale jesli wyjdzie ze od -1 jest dodatni i rosnie do 1 albo ujemny i maleje to po zadaniu:>

Dowolna liczba naturalna może z dzielenie przez 3 dawac reszty: I) 0 , wtedy ta liczba jest podzielna przez 3 a takich zgodnei z trescia nie rozpatrujemy II) 1, to jest nasz pierwszy przypadek III) 2, to jest nasz drugi przypadek Zarowno w II jak i w III jest to liczba niepodzielna przez 3, czyli o ...

Dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ n=3k+1}\)
2. \(\displaystyle{ n=3k+2}\)
Wstaw to i zobacz co wyjdzie

Ta druga czesc bedzie łatwiejsza do narysowania jesli skorzystasz z tego ze
\(\displaystyle{ cos^{2}x - sin^{2}x=cos2x}\)
Edit: za pozno

nie.