Matematyka.pl

Zakładam, że miało być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_n = \pm \sqrt{n})=\frac{1}{2}}\) ale czym jest \(\displaystyle{ Y_n}\)?

Pierwsze nie.
Wychodzi granica \(\displaystyle{ 1-e^{-1 \cdot t}}\) a to jest dystrybuanta rozkładu \(\displaystyle{ Exp(1)}\) a nie \(\displaystyle{ Exp(t)}\).
Tak dystrybuante możesz sobie na boku policzyć i zamiast argumentu wstawaisz to co tam Ci wcześniej wyszło.

U Ciebie \(\displaystyle{ b=1 \ \ \mbox{oraz} \ \ a=0}\). Zatem \(\displaystyle{ F_{X_1}\left( \frac{t}{n}\right)= \frac{t}{n}}\). Teraz już łatwo dokończysz liczenie granicy

Jaka jest dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?

Jak chcesz "ładny" wynik, to skorzystaj z twierdzenia Poissona. (Tu kiedyś coś pokazywałem 349495.htm#p5163673) Podpowiedź do ostatniego podpunktu: wraz ze wzrostem liczby sukcesów w n próbach prawdopodobieństwo najpierw rośnie a później maleje. Obrazowo to wygląda tak (dla n=100 i p=0.4) ...

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( 3< 3X-6<6\right)=\mathbb{P}\left( 3< X < 4\right)=\int_{3}^{4}g(x) \mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ g}\), to gęstość.
Poczytaj o rozkładzie normalnym, wariancji nawet nie trzeba liczyć.

W twoim przypadku wynik, to
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | Y) = \sum_{i=0}^{4} \mathbb{E} \left( X| Y_i \right) 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{Y_i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ Y_i}\) oznacza, że w pierwszych czterech rzutach wypadło \(\displaystyle{ i}\) orłów.

Skąd wziąłeś to?
\(\displaystyle{ P(X<Y)=\int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(x) \cdot f_Y(y) \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ f}\) to gęstość. To nie jest prawda.

W takim razie chodziło mi o drugą równość.

Pierwsza równość u Ciebie nie jest prawdziwa.

Coś jest źle, wynik Ci zależy od y , który nawet nie wiadomo czym jest. Przelicz jeszcze raz. Mi wyszło 1-\frac{\beta}{\alpha+\beta} . Jak znasz warunkową wartość oczekiwaną lub twierdzenie Fubini'ego dla miar probabilistycznych, to nie trzeba się męczyć ze splotem i szybko wychodzi. e/ To znaczy ch...

Tutaj liczby nie są przypadkowo duże i prawdopodobieństwo przypadkowo małe. Wiemy, że im większa próba tym schemat Bernoulliego bardziej przypomina rozkład Poissona. p \cdot n =0.001 \cdot 5000=5 . Zatem mamy \mathbb{P}\left( X \ge 2\right)=1- \left( \mathbb{P}\left( X=0\right) + \mathbb{P}\left( X=...

Nie policzyłem tego ale może spróbuj coś takiego. Niech g : \mathbb{R} \longrightarrow [a,b] . Skoro to są rozkłady ciągłe, skorzystamy z "twierdzenia" o odwzorowaniach gładkich. Załóżmy, że taka funkcja g istnieje, wtedy zachodzi równość gęstości: f_{Y}(y)=f_{X}\left( g^{-1}(y)\right)\lef...

Nierówność Markowa: dla dodatniej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X \ge \varepsilon \right) \le \frac{\mathbb{E}X}{\varepsilon}}\)
Teraz tylko podstaw swoje dane i otrzymasz górne oszacowanie.

Wyznacz rozkład tej zmiennej losowej, a później z definicji wartości oczekiwanej.