Matematyka.pl

ok.

Z jednej strony masz, że:
\(\displaystyle{ \left( \cos x +i\sin x \right)^8 =\cos 8x + i\sin 8x}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \left( \cos x +i\sin x \right)^8=\cos^8 x +8i\cos^7 x\sin x-\binom{8}{2}\cos^6 x\sin^2 x+...}\)
Przyrównujesz części rzeczywiste i urojone do siebie i masz odpowiedni wynik.

A poetaopole my się nie kłócimy tylko sprawdzamy swoje rozwiązania na wzajem i w ten sposób powinieneś sobie wywnioskować dobre rozwiązanie.

Oj chyba za dużo od kolegi wymagasz.
Da się odczuć, że kolega chce gotowca.

Hmm ale nieprawdziwe. Ten ciąg jest niemalejący, także nierówność jest nieprawdziwa. Natomiast, dla dużych \(\displaystyle{ n}\) widać, że wyrazy zachowują się jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

Nie lepiej te podstawienie na starcie dać, tak jak napisał yorgin? Dzielenie pójdzie o wiele łatwiej.
\(\displaystyle{ t=x-2\\
t+2=x\\
\dd t =\dd x\\
=\int \frac{(t+2)^3}{t^2}\dd t=\int \frac{t^3+6t^2+12t+8}{t^2}\dd t=\int \left( t+6+\frac{6}{t}+\frac{8}{t^2}\right) \dd t}\)

Z tego co widzę, to trzecia pochodna jest źle policzona. To raczej czwartą podałeś.

ok

257724.htm
Przeczytaj mój ostatni post w tym temacie, może na coś Ci się przyda.

1. Nie jest napisane w jakim zbiorze.
Ogólnie to kombinacje z powtórzeniami. poczytaj gdzieś o tym, zadania są typu podstaw do wzoru.

Praktycznie całą drugą kolumnę możesz wyzerować w prosty sposób.

Cosinus jest ujemny, więc mamy do czynienia z trójkątem rozwartokątnym. Dalej twierdzenie osinus i masz policzone ramiona.

Kąt \(\displaystyle{ ALD}\) jest kątem prostym, gdyż kąty \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) dają razem \(\displaystyle{ 180^o}\). Dwusieczne dzielą te katy na pół, więc połowy kątów dadzą w sumie \(\displaystyle{ 90^o}\). Podobnie jest z kątem \(\displaystyle{ CNB}\).
Dalej to podejrzewam, że wystarczy pokombinować z Pitagorasami i Talesami

Strata czasu, ale jak chcesz.
Najpierw pokażę, że \(\displaystyle{ n(n+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) prawda.
Zakładamy, że prawdą jest dla \(\displaystyle{ n=k}\), tzn: \(\displaystyle{ k(k+1)=2m}\). Sprawdzamy co będzie dla \(\displaystyle{ n=k+1}\):
\(\displaystyle{ (k+1)(k+2)=(k+1)k+(k+1)\cdot 2=2m+2(k+1)=2(m+k+1)}\).
Teraz zrób swoje w podobny sposób.

Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych na pewno znajduje się jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) oraz jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).