Matematyka.pl

\(\displaystyle{ A = \Big( \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} \operatorname{int} F_n}_{\text{otwarty}} \cup \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} (F_n \setminus \operatorname{int} F_n)}_{\text{I kat.}} \Big) \setminus P}\)

i już nietrudno dojść do żądanej postaci.

w jaki sposób?

W jaki sposób uzasadnić powyższe sposoby przedstawienia zbioru A?

Przyjmuję następującą definicję własności Baire'a: Zbiór A posiada własność Baire'a, jeśli można go przedstawić w postaci A=G\Delta P, gdzie G jest zbiorem otwartym, a P zbiorem pierwszej kategorii. Pokazać, że następujące warunki są warunkami koniecznymi i wystarczającymi, by zbiór A posiadał własn...

Pokazać, że iloczyn kartezjański zbiorów borelowskich jest zbiorem borelowskim.

W jaki sposób to uzasadnić? Rozpisywać różnicę symetryczną: \(\displaystyle{ A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}\) lub \(\displaystyle{ A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}\)?

Dziękuję bardzo :) Mam jeszcze jedną definicję, której równoważność muszę pokazać: Zbiór A ma własność Baire'a wtw. gdy można go przedstawić w postaci A=(G\setminus P)\cup R gdzie G jest zbiorem otwartym, a P, R zbiorami pierwszej kategorii. Niestety nie mam pomysłu, jak wykonać dowód implikacji mów...

Nadal niestety nie bardzo wiem, jak przejść z faktu, że istnieje zbiór otwarty U taki, że A\Delta U jest pierwszej kategorii do tego, że istnieje przedstawienie zbioru A w postaci różnicy symetrycznej pewnego zbioru otwartego i zbioru pierwszej kategorii. A\Delta U=A\Delta (U\Delta \emptyset)=\empty...

Przyjmuję następującą definicję własności Baire'a: Zbiór A posiada własność Baire'a, jeśli można go przedstawić w postaci A=G\div P , gdzie G jest zbiorem otwartym, a P zbiorem pierwszej kategorii. W jaki sposób pokazać równoważność poniższej definicji? Zbiór A ma własność Baire'a, jeśli istnieje zb...

Przedsiębiorstwo działające w warunkach konkurencji doskonałej i dążące do maksymalizacji zysku, zaprzestanie produkcji w krótkim okresie, gdy: a) cena będzie niższa od kosztu marginalnego b) utarg przeciętny będzie mniejszy od kosztu przeciętnego c) przeciętny koszt stały będzie wyższy od ceny d) p...

Pokazać, że funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego \(\displaystyle{ G \subset \mathbb{R}}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}(G)}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

Czy poprawne jest następujące rozumowanie?

Zbiór Cantora nie zawiera żadnego przedziału, natomiast na prostej euklidesowej zbiór jest spójny wtw. gdy jest przedziałem, zatem zbiór Cantora nie jest spójny.

Generowaną przez metrykę euklidesową

Wydaje mi się, że nie, np. pierwszy z przedziałów składowych jest z jednej strony otwarty (przy zerze), z drugiej domknięty

W jaki sposób znaleźć taki podział?