Matematyka.pl

Mój dowód także obejmował rozpatrywanie wielu przypadków (z których część była "pusta") i choć rzeczywiście był krótszy niż rozwiązanie nierówności z logarytmami, to jest to bodaj jedyna jego zaleta. To poniżej jest oficjalnym rozwiązaniem tej nierówności przepisanym dość wiernie ze źródł...

Tożsamość \[\begin{aligned}12\left(x^2+y^2\right)-12x^2y^2-x^4-y^4&=\left(\frac{12}{7}-x^2\right)\left(x^2+6y^2\right)+\left(\frac{12}{7}-y^2\right)\left(y^2+6x^2\right)\\&=\frac{7}{8}\left(\frac{48}{7}-(x+y)^2\right)(x+y)^2+\frac{7}{8}\left(\frac{48}{7}-(x-y)^2\right)(x-y)^2+\frac{3}{4}\lef...

\(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=2+2\cos A\cos B\cos C\)

Raczej nie tak, jak przeczytanie oficjalnego rozwiązania (s. 209): http://amj-math.com/wp-content/uploads/2023/01/AMJ2022-vol9iss2.pdf Zadanie wzięłam z aops, a pod koniec listopada natknęłam się na nie we wcześniejszym numerze zalinkowanego periodyku, co zmartwiło mnie podwójnie, bo po pierwsze, za...

Dla \(x,y,z\in\mathbb{R}\), takich że \(x+y+z=3\) udowodnij \[\frac{1}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{3+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{3+z^2}}\le\frac{3}{2}.\]

Możemy sobie cyklicznie przesunąć indeksy w całym układzie i nic się nie zmieni, więc przypuśćmy bez straty ogólności, że \(x_1\) jest największą z niewiadomych. Odejmujemy czwarte równanie od piątego i mamy, że \(x_4=x_2=x_1\), bo inaczej strony miałyby przeciwne znaki. Dalej bierzemy równanie pier...

Jeżeli istnieją rozwiązania przy podanych warunkach, to spośród nich można wybrać takie, w którym \(z\) jest najmniejsze ze wszystkich zetów. Weźmy tę trójkę \((x,y,z)\). Ponieważ \(t^2\equiv 0,\pm 1\pmod 5\), a musimy mieć \(2x^2\equiv z^2\pmod 5\), to \(x,z\equiv 0\pmod 5\), czyli \((x,y,z)=(5x_1,...

\((y-x)^2+(1+xy)^2=\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)

No, ale skąd mam wziąć \sin (3 \cdot 20^\circ) jeśli mam \sin 20^\circ ? Wzoru \(\sin 3x=4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\) uczą w Langley, zaś wzoru \(\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3x\) uczą na Łubiance. Użycie ich obu mogłoby zdekonspirować podwójnego agenta, więc ...

\(\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{\left(\frac{y-x}{1+xy}\right)^2+1} \le \frac{10}{3}\iff (xy-1)^2+4(2x-y)^2\ge 0\)

\(\sin\left(3\cdot 20^{\circ}\right)=\sin\left(2\cdot 20^{\circ}+20^{\circ}\right)\)

\(\sin20^{\circ}\cdot\sin\left(60^{\circ}-20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(60^{\circ}+20^{\circ}\right)=\ldots =\frac{1}{4}\sin\left(3\cdot 20^{\circ}\right)\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{b}{a+b}\cdot a+\frac{a}{a+b}\cdot b\ge a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\)

Timonku, a jaka jest odpowiedź?

\((a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=-\bigl((x-1)a^2-(x^2+1)a+x^2+x\bigr)\)