Matematyka.pl

No właśnie się nad tym zastanawiam, bo \(\displaystyle{ a_{1} = 0}\), więc \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{1}{2}(0 + \frac{x}{0})}\), więc coś jest nie tak ;/

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie ustaloną liczbą dodatnią. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określonego w sposób rekurencyjny:
\(\displaystyle{ a_{1} = 0}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + \frac{x}{a_{n}})}\), dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Niech \(\displaystyle{ (a_{n})}\) będzie danym ciągiem i niech wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (b_{n})}\) będą dane wzorem: \(\displaystyle{ b_{n} = \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N^{*}}\)
Wykazać, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ograniczony(monotoniczny) to również ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest ograniczony(monotoniczny).

Obliczyć sumę:
\(\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + ... + n \cdot (2^n - 1)}\)

Właśnie robisz dwa przypadki gdy \(\displaystyle{ logx \ge 0}\) i \(\displaystyle{ logx<0}\)

To raczej pierwsze robisz podstawienie wychodzi zwykłe równanie kwadratowe, a póżniej takie same warunki jak przy równaniach kwadratowych z parametrem.

Zamień \(\displaystyle{ tg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }}\) sprowadź do wspolnego mianownika w liczniku i w mianowniku i przemnóż przez odwrotność mianownika i wyjdzie co trzeba

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1 - \sin^4x - \cos^4x}{1- \cos^2x - \sin^6x}}\)

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x,y \in (0,\pi)}\) i \(\displaystyle{ x+y < \pi}\), to
\(\displaystyle{ ctgx + ctgy \ge 2ctg\frac{x+y}{2}}\)

Dzięki już rozumiem. A \(\displaystyle{ log_{a}b > 0}\), z racji, że \(\displaystyle{ a,b \in (0,1)}\)tak?

Mam problem z tym zadaniem, proszę o pomysł jak je zrobić:

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ a,b \in (0,1)}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ log_{a}\frac{2ab}{a+b} + log_{b}\frac{2ab}{a+b} \ge 2}\)

Sprawdzić czy każde zdanie jest równoważne zdaniu w postaci koniunktywno-alternatywnej(tzn. takiemu, która jest koniunkcją zdań, z których kazde jest alternatywą). Jeżeli nie, wyznaczyć klasę zdań, dla których powyższy warunek jest spełniony.

Definiujemy \(\displaystyle{ p^0 = p, p^1 = \neg p}\). Rozważmy wyrażenie postaci: \(\displaystyle{ (...((p^{i_{1}} \Rightarrow p^{i_{2}}) \Rightarrow p^{i_{3}})...) \Rightarrow p^{i_{n}}}\) Dla jakich ciągow \(\displaystyle{ (i_{1},...,i_{n})}\) to wyrażenie jest tautologią?

Niech\(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\). Pokazać, że jeśli dla każdej wartości \(\displaystyle{ x}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ f(x+a) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\) jest ustaloną liczbą, to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową.