Matematyka.pl

Wykazać na przykładzie S_{3} oraz G_{1} , że nie możemy określić działania indukowanego w zbiorze ilorazowym. Zaczynam od S_{3} . Biorę podgrupę permutacji parzystych, zbiór ilorazowy jest dwuelementowy. Rysuję tabelkę z działaniem indukowanym (składaniem) i mi wychodzi że działanie indukowane jest ...

Zadanie: W=\left\{ (x,y,z): x^{2}+y^{2} \le a^{2} , \left| z\right| \le 1\right\} \\ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z Wprowadzam współrzędne: x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \\ z=z Jakobian: r . Określam: 0 \le r \le a \\ 0 \le \alpha \le 2 \pi \\ -1 \...

Zadanie sformułowane jest następująco:

Czy \(\displaystyle{ \RR_{+} \cup \{0\}}\) z działaniem: \(\displaystyle{ a*b= \sqrt{ab}}\) jest grupą abelową?

Próba rozwiązania doprowadziła mnie do wniosku, że \(\displaystyle{ e=a}\). Czyli element neutralny nie istnieje, bo nie jest on jednoznacznie scharakteryzowany?

\(\displaystyle{ (x')^{2}+4x'=4tx''}\)
\(\displaystyle{ x(0)=1 \\
x'(0)=2}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ u=x'}\), liczę.
Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ ln \left| \frac{u}{u+1} \right| = 16lnt + C}\)


I co, mam podnosić \(\displaystyle{ t^{16}}\) i liczyć z tego? Czy gdzieś wcześniej jest błąd?

Równanie wygląda tak:

\(\displaystyle{ (t^{2}x^{2}-1)dx+2tx^{2}dt=0}\)

Wyznaczenie czynnika całkującego dało mi efekt w postaci:
\(\displaystyle{ u(x)=e^{ \frac{x^{2}}{2}-2x)}\)

Zaczęłam przez to mnożyć ale jakieś długie to wszystko i tyle rachunków...
Nie pomyliłam się gdzieś wcześniej, tak ma to być? :/

Zgadza się, dziękuję.


Kolejny przykład to:

\(\displaystyle{ x+(x^{2}-t)x'=0 / \cdot t'}\)
\(\displaystyle{ xt'+x^{2}-t=0}\)
\(\displaystyle{ t'- \frac{1}{x} t = -x}\)

Dobrze?

Mam do rozwiązania następujące równanie z działu liniowych: (t+e^{-x})x'+1=0 x=x(t) I teraz tak, po przeniesieniu: x'= \frac{-1}{t+e^{x}} Wzór ogólny równania liniowego to: y'+p(x)y=f(x) Mam wyraźnie f(t) , a p(t) mam przyjąć 0 i liczyć dalej? Próbowałam w ten sposób ale jakoś średnio mi to szło :/

Niestety mam problem z poskładaniem tego dowodu. Wg mnie nic tu wiele nie trzeba, to co napisałam w temacie i później ewentualnie że przecież a jest elementem odwrotnym do a^{-1} więc przeprowadzając drugi raz to samo rozumowanie będzie że m \le n i z połączenia obu nierówności jest równość. Czy kto...

No to jak wyżej:

\(\displaystyle{ rza=m}\)
\(\displaystyle{ rz(a^{-1})=n}\)

\(\displaystyle{ (a^{-1})^{n} =(a^{n})^{-1} = e^{-1} = e \

\left( (a^{n})^{-1}\right) ^{-1} = a^{n} = e}\)

Stąd \(\displaystyle{ n=m}\).

W miarę porządnie?

A co kiedy rząd elementu jest nieskończony?

hmm...

hipoteza: istnieje \(\displaystyle{ n<m}\) takie że \(\displaystyle{ (a^{-1})^{n}=e}\)

Dalej: \(\displaystyle{ \left( a^{n}\right) ^{-1}=e^{-1}=e}\), stąd \(\displaystyle{ n}\) musiałoby być także rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\)?

Jak to zrobić?

Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\), zachodzi równość: \(\displaystyle{ rza=rz(a^{-1})}\).

\(\displaystyle{ rza=m}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ a^{m}=e}\)
Dalej \(\displaystyle{ (a^{-1})^{m} = (a^{m})^{-1}=e^{-1}=e}\), czyli zostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ m}\) jest minimalne i będzie można je uznać za rząd elementu odwrotnego, tak?

Zadanie pochodzi ze zbioru "Algebra abstrakcyjna w zadaniach", Jerzy Rutkowski.

W takim razie mogę prosić o jakieś wskazówki lub początek dowodu?

Zadanie: Udowodnić, że jeśli rzG=n , to dla każdego a \in G zachodzi równość a^{n}=e . Z:\ rzG=n \\ T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie a , że: a^{n} \neq e I mam tak: rz a = m, m<n a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\ a \cdot a^{k}=a^{n...

Tak zgadza się, skopiowałam i przez nieuwagę zapomniałam usunąć tej całki. Hmm dzięki, faktycznie Twoje rozwiązanie jest proste i eleganckie. I jeszcze mam pytanie: Jak mam całkę jakąś na przedziale (0, \infty ) , i chcę ją oszacować ale np. moje oszacowanie zachodzi tylko dla x>1 to mogę to wykorzy...