Matematyka.pl

Czy uważasz, że granicą funkcji może być przedział?

To jest po prostu najbardziej naturalny sposób określenia działania dodawania i mnożenia przez skalar elementów przestrzeni funkcyjnych. Po prostu jako wartość funkcji \(\displaystyle{ f+g}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje się sumę ich wartości w tym punkcie. Tak samo przy mnożeniu przez skalar.

Skoro \(\displaystyle{ 0 \in A}\), to \(\displaystyle{ 0 \in \lambda A}\) dla każdego \(\displaystyle{ \lambda>0}\), więc \(\displaystyle{ p(0) = \inf \{ \lambda >0 \colon 0 \in \lambda A\}}\) musi być równe zeru z dowolności \(\displaystyle{ \lambda}\), bo ten zbiór to po prostu przedział \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).

No jak napiszesz symbolem "pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\)"?

Jeżeli chodzi Ci o coś takiego (pomijam mianownik, jest tutaj bez znaczenia):

\(\displaystyle{ -(a+b)\cdot c = (a+b) \cdot (-c) = a \cdot (-c) + b \cdot (-c) = -ac - bc = (-a-b) \cdot c}\)

to dobrze myślisz.

Poza tym \(\displaystyle{ x^2}\) to liczba, więc o ile \(\displaystyle{ x \neq 0}\), to \(\displaystyle{ x^2 \neq 0}\) i można przez nią obie strony, czy też licznik i mianownik podzielić.

Po obłożeniu obu stron eksponentą masz błąd - nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ e^{x+y} = e^x+e^y}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\), no nie?

Chociażby taki, że w poleceniu masz tam minus. Policz pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x-y)}{\partial y}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x+y)}{\partial y}}\) to zobaczysz, że nie wyjdzie to samo.

Bo \(\displaystyle{ f(x,y)}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) dwu zmiennych w punkcie \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{R}^2}\), a \(\displaystyle{ f(x-y)}\) to wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jednej zmiennej w punkcie \(\displaystyle{ x-y \in \mathbb{R}}\). To nie jest to samo.

Ani zbioru.

Przyrównaj do zera i wylicz \(\displaystyle{ x}\).

381488.htm

Można z ograniczoności, ale jeżeli szacowanie jest dobre (nie sprawdzałem), to jest prawie okej - po przedostatnim znaku równości nie ma już granicy.

\(\displaystyle{ (1,0,1) \in A}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1,1) \in A}\), ale \(\displaystyle{ (1,0,1)+(0,1,1) = (1,1,2) \notin A}\), bo \(\displaystyle{ 1\cdot 1 \neq 0}\).

Przy okazji - symbol alternatywy \(\displaystyle{ \vee}\) to vee, a żeby klamry się wyświetlały należy przed nimi umieścić slash (albo backslash... nigdy nie wiem który jest który): \(\displaystyle{ \{ \}}\) - { }.

\(\displaystyle{ \int \frac{2^x}{\sqrt{1-4^x}} \mbox{d}x = \int \frac{2^x}{\sqrt{1-(2^x)^2}} \mbox{d}x}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=2^x \Rightarrow \mbox{d}t = 2^x \ln 2 \mbox{d}x}\) zostaje całka
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln 2} \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}}\), która jest tablicowa.