Matematyka.pl

Ogólnie możesz sobie ten iloczyn zapisać, jako iloczyn trzech granic i obliczyć każdą z osobna odpowiednio prostym dla siebie sposobem.

Możesz sprawdzić stosując regułę de l'Hospitala. Elementarnie granica wyrażenia z arcusem wynika ze znanej granicy \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} =1 , a granice z logarytmem można rozwiązać z 3 funkcji np. Przekształcił po prostu mnożąc licznik i mianownik przez 5x^3, aby uzyskać wyrażenia,...

Granica pierwszego i trzeciego czynnika w iloczynie, który podał aalmond jest także równa 1.

Mi wyszło 5

Doprowadź liczbę a do prostszej postaci ( wsk. wspólny mianownik) i sprawdź czy liczba a spełnia założenie przynależności do zbioru A.

pochodne źle policzone.. skorzystaj ze wzoru na pochodną ilorazu.
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=\frac{3a(1+t^3)-3at(3t^2}{(1+t^3)^2}\\
\frac{dy}{dt}= \frac{6at(1+t^3)-3at^2(3t^2)}{(1+t^3)^2}}\)

Spróbuj indukcyjnie dowieść, że ciąg jest ograniczony z góry przez 4. Monotoniczność też chyba najprościej z indukcji

Zauważ, że \(\displaystyle{ \Delta OEK \sim \Delta EAC, \ \Delta AKB \sim \Delta EKB, \ \Delta OKA \sim \Delta EAC}\) (rozpisz sobie kąty), stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{OK}{EK}= \frac{AC}{AE} \\ \frac{AE+EK}{KB}= \frac{KB}{EK} \\ \frac{OK}{EK+EA}= \frac{AE}{AC} \end{cases}}\)

a z tego już prosta droga do końca dowodu

Raczej upierałabym się przy swoim wyniku

po upływie czasu \(\displaystyle{ t}\) prędkość ciała będzie równa \(\displaystyle{ \upsilon_2= \upsilon_0+gt}\), zatem

\(\displaystyle{ n \cdot p_0 = p_2 \\
n \cdot (\upsilon_0 \cdot m) = m \cdot (\upsilon_0+gt) \ \Rightarrow \ t=\frac{\upsilon_0(n-1)}{g}}\)

dla 11-cyfrowej liczby x jest już [x]<x , bo 11\cdot 9^9< 10^{10} , więc "wystarczy" posprawdzać, liczby < 11 cyfrowe Warto sobie wyeliminować z góry kilka przypadków dla każdej 2,3,...,10- cyfrowej liczby, które z pewnością nie "zadziałają". Zapewne jest łatwiejszy sposób

Równoważnie A=\frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{ \sin x (\cos x- \sin x) }>8 , ponieważ (\cos x - \sin x)>0 dla iksów z podanego przedziału to korzystając z nierówności pomiędzy średnimi mamy A > \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{4}(\sin x + (\cos x - \sin x))^2} = \frac{4}{\sin x \cos x} = \frac{8...

Idzie z twierdzenia Lagrange'a

Oblicz deltę i korzystając z nierówności trójkąta pokaż, że jej wartość dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest mniejsza od zera.