Matematyka.pl

Jest to wykres funkcji ciągłej, w szczególności zbiór domknięty. Zauważ, że ma puste wnętrze ponieważ w wykres funkcji ciągłej nie wsadzisz żadnej kulki. Pozdrawiam.

Nie, izomorfizm jest bijekcją z definicji, a więc z definicji ma funkcję odwrotną (nie musisz tego sprawdzać, bo to wiesz). Musisz sprawdzić, że zachowuje dodawanie i mnożenie przez skalar jako przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f^{-1}\colon W\to V}\).

No tak: jeżeli \(\displaystyle{ x_k}\) jest punktem stałym, to w szczególności punkt, któremu nadasz indeks \(\displaystyle{ x_{k_m}}\), cokolwiek ten indeks oznacza. Zapewne przechodzisz do odpowiedniego podciągu.

Czy możesz rozjaśnić oznaczenia? Z tego co piszesz, rozumiem, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest tajemniczą bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) a ta pierwsza macierz jest macierzą funkcjonału dwuliniowego \(\displaystyle{ g}\) w tej bazie? Jeżeli tak, to napiszę Ci schemat rozwiązania.

Tak bardzo dobrze: skoro dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) przy dowolnym \(\displaystyle{ \varepsilon}\) ta norma jest mniejsza od \(\displaystyle{ \varepsilon}\), to oznacza, że wynosi ona dokładnie 0, ale to jest możliwe tylko, gdy wektor jest równy 0, a to wtedy, gdy zachodzi rzeczona równość, tj. \(\displaystyle{ x_k}\) jest punktem stałym \(\displaystyle{ T_k}\).

Nie, rozważ zbiór liczb wymiernych. Co prawda można uogólnić to twierdzenie zastępując zupełną przestrzeń metryczną, przestrzenią zupełną w sensie Cecha.

Tak, bardzo dobrze. Nie potrzebnie tylko używasz słowa sprzeczność bo nie dowodzisz tego nie wprost. Pozdrawiam.

PS. W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) powinieneś wziać \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^n}\)

Wzór na gęstość rozkładu jednotajnego jest znany (wzór tablicowy / do wyprowadzenia). Nazwijmy tę gęstość \(\displaystyle{ g}\). Wówczas gęstość sumy tych zmiennych jest splotem ich gęstości \(\displaystyle{ g*f}\).

Najlepiej tak: oznacz \(\displaystyle{ z_0 = x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Wówczas \(\displaystyle{ \overline{z}=a-bi}\)...

O izomorfizm jakich struktur chodzi? Najlepiej z definicji - jako izomorfizm dane przekształcenie jest bijekcją czyli jako funkcja ma funkcję odwrotną. Teraz pokaż, że możesz "wrócić" z operacjami zachowanymi przez dany izomorfizm stosując tę funkcję odwrotną.

Na początek nadmienię, że to nieco już archaiczna książka (mimo, że klasyczna). W szczególności, zobacz w literaturze (chociażby u Rudina) twierdzenie Schaudera-Tichonowa. Ustalamy ciąg liczb dodatnich zbieżnych do zera (\epsilon_{k}) . Tworzymy ciąg operatorów (T_{k}) który jest zbieżny jednostajni...