Matematyka.pl

Zna ktoś dowód wzorów całkowych Łobaczewa albo zna jakieś linki gdzie znajdę ? Chodzi o wzór \int_{0}^{ \infty }f(x) \frac{ \sin x}{x}dx= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }f(x)dx \int_{0}^{ \infty }f(x) \frac{ \sin^2 x}{x^2}dx= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }f(x)dx przy założeniach że f(x)=f(x+ \pi )=f( \pi ...

na pewno chcesz liczyć w \(\displaystyle{ \infty}\) ? Tam nie istnieje
czy może w \(\displaystyle{ 0}\) ?

szereg \ \ \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k} jest zbieżny do \ \ln(x+1) dla \ \ \ x \in (-1,1] \ \ \ \ \ \frac{5}{3}\not\in(-1,1] (dlatego nie można tak ) (przy k nie ma silni ). Jeśli potrzebujesz rozwinięcia w \frac{5}{3} to skorzystaj z ln(a+x)= lna+ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2}{2n+1}(...

Może nie jest to zadanie najambitniejsze ale lubię ten trik w tej postaci

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)

zakładam że \ n,k \in N no albo n,k \in R . Wzory które podajesz raczej Ci się nie przydadzą lepiej będzie podnieść mianownik do kwadratu a potem pomnożyć i podzielić przez jego sprzężenie a co do licznika to pogrupuj go względem \ i . \frac{a+bi}{(c+di)^2}= \frac{(a+bi)(c^2-d^2-2cdi)}{(c^2-d^2+2cdi...

3 \int \frac{\dd x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+2}= \begin{vmatrix} x+1=t^2 \\x=t^2-1\\dx=2tdt\end{vmatrix}= \int \frac{2tdt}{t+ \sqrt{2-t^2} +2}= \int \frac{2tdt}{t+ \sqrt{2} \sqrt{1-( \frac{t}{ \sqrt{2} } )^2} +2}= \begin{vmatrix} \frac{t}{ \sqrt{2}}=cosw \\t= \sqrt{2}cosw \\dt=- \sqrt{2}sinw \end{vmatr...

racja

parametryzacja \(\displaystyle{ z(t)=ae^{jt}}\) to dobry pomysł wtedy \(\displaystyle{ t \in [0,2 \pi ]}\) i

\(\displaystyle{ dz=aie^{it}dt}\)

Twój zapis był i jest ok po prostu zebrałem to wszystko w jednym poście.
A co do przejścia to argumentuje je twierdzeniami o arytmetyce granic. Przyznaje jestem skrót myśliwy i teraz jak na to patrze to nie wygląda to najlepiej ale przynajmniej wiem już o co chodzi.

0 \le \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^3}=\sum_{\substack{k^3 \ge n^ \frac{5}{2} \\k=1 }}^{\left\lfloor n^ \frac{5}{6} \right\rfloor} \frac{n}{n^2+k^3} +\sum_{\substack{k^3 < n^ \frac{5}{2} \\k=\left\lfloor n^ \frac{5}{6} \right\rfloor }+1}^{n} \frac{n}{n^2+k^3} \le \left\lfloor n^ \frac{5}{6} \right\rf...

Bardzo dziękuje za te słowa szw1710 naprawdę wiele dla mnie znaczą tak samo wszystkim innym którzy znaleźli czas i ochotę pomóc.

Premislav jeszcze i tak będę to na spokojnie analizował więc posprawdzam inne podane możliwości

Co do 1 pytania to wymyśliłem te granice sam (jeszcze przed wakacjami ) wszystko zaczęło się do prostej granicy \lim_{ n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}=1 z tym dałem sobie radę szybko przy użyciu 3 ciągów więc stwierdziłem że pora utrudnić sobie życie. \lim_{ n\to \infty } \sum_{k=1}^{n}...

no właśnie dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) jest nieskończenie wiele takich k.

Zastanawiałem się rozdzieleniem tej granicy tak jak proponowałeś \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^3} = \sum_{k^3 \le n^{5/2}} \frac{n}{n^2+k^3} + \sum_{k^3>n^{5/2}} \frac{n}{n^2+k^3} ale nie wiem jak oszacowywać to dalej poza tym kończymy 1 sumę na k^3 \le n^ \frac{5}{2} a 2 zaczyna się k^3>n^ \frac{5}{2...

Można też wykorzystać kryterium ilorazowe. \lim_{ n\to \infty } \frac{\sin\left( \frac{\pi}{2-3^n} \right)}{\frac{\pi}{2-3^n}}=1 a szereg \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\pi}{2-3^n} jest zbieżny bo \lim_{ n\to \infty } \frac{\frac{\pi}{2-3^n}}{ - \frac{ \pi }{3^n}}=1 no i \frac{1}{3} <1