Matematyka.pl

Dla funkcji ciągłych można na to spojrzeć korzystając z prostego faktu o wypukłości (wklęsłości). Jeśli funkcja ciągła \Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} spełnia dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} warunek \Phi \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{\Phi \left( x \right) + \Phi \left( y \right) }{2}\quad\lef...

Nikt tu nie kwestionuje tego, że suma wszystkich pierwiastków jest liczbą rzeczywistą. Chodzi o to, że gdy rozpatrujemy tylko rzeczywiste pierwiastki, to na przykład suma pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^4+x^3-x-1}\) jest równa \(\displaystyle{ 1+(-1)=0}\) a nie \(\displaystyle{ -1}\), jak by wynikało ze wzorów Viète’a.

Uważam, że pytanie Pana Bakali jest sensowne. Jeśli rozpatrujemy tylko pierwiastki rzeczywiste, to przez "sumę pierwiastków" rozumiemy sumę pierwiastków rzeczywistych. W każdym razie wielomian kwadratowy nx^2-x-n-3 dla n naturalnego dodatniego ma dwa pierwiastki rzeczywiste, bo wartość w z...

Zgadzam się. Czemu nie?

W równaniu, które podałam, rozwiązanie y=2 jest poprawne na całej prostej. Pańskie uzasadnienie wymaga prześledzenia sposobu rozwiązywania równania, czy wszędzie metoda zmiennych rozdzielonych gwarantuje jednoznaczność rozwiązania. Zresztą sama nie mam lepszego pomysłu na pełne rozwiązanie zadania. ...

Panie Ucwmiu, gdzie jest ta płaszczyzna/oś symetrii? \begin{picture}\thinlines \put(-40,0){\line(1,0){70}} \multiput(-25,0)(20,0){3}{\line(2,1){10}} \multiput(-25,0)(40,0){2}{\multiput(0,0)(10,5){2}{\line(-1,2){10}}} \multiput(-35,20)(40,0){2}{\line(2,1){10}} \multiput(-5,0)(10,5){2}{\line(-1,2){20}...

4) Ustalony wierzchołek v_1 może przejść na dowolny z pięciu wierzchołków, powiedzmy \varphi(v_1) . Sąsiad wierzchołka v_1 musi przejść na jeden z dwóch sąsiadów \varphi(v_1) . Obrazy pozostałych wierzchołków już są jednoznacznie wyznaczone, zatem ostatecznie mamy 10 możliwości. 6) Dowolna permutacj...

Przyczyną jest raczej to, że równanie nie ma sensu dla \(\displaystyle{ x=\pm1}\), bo \(\displaystyle{ 1-x^2}\) występuje w mianowniku. Dla równania

\(\displaystyle{ (1-x^2)\cdot\frac{\partial y}{\partial x} + xy = 2x}\)

rozwiązanie stale równe \(\displaystyle{ 2}\) przedłuża się na całą prostą, więc powyższe uzasadnienie nie działa.

Liczba \(\displaystyle{ 2811213152273119760918}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), ale już nie przez \(\displaystyle{ 4}\). Dlatego \(\displaystyle{ 2811213152273119760918^5}\) ma w rozkładzie na czynniki pierwsze tylko pięć dwójek, czyli dzieli się przez \(\displaystyle{ 32}\), ale nie przez \(\displaystyle{ 64}\).

Przede wszystkim sprawdzić, czy odcinki są równoległe. Środek jednokładności jest w przecięciu prostych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). Mógłby być w przecięciu \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\), ale wtedy skala byłaby ujemna, bo punkt ten leży wewnątrz trapezu \(\displaystyle{ ACDB}\).

1.

\(\displaystyle{ 7^3=7\cdot49<\frac{25}2\cdot50=5^4}\)

Dodać należy, że przed rozpoczęciem działalności matematycznej najpierw trzeba się dobrze nauczyć języka, w którym o matematyce będzie się mówić. Proporcja \(\displaystyle{ 20\%:80\%}\) jest równa \(\displaystyle{ 1:4}\). Tak było zawsze. \(\displaystyle{ 80\%}\) to nie jest pięć razy więcej niż \(\displaystyle{ 20\%}\).

Wyrażenie po prawej stronie w module można zgrubnie oszacować z dołu. \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+3}+2\ge2}\) oraz \(\displaystyle{ 0<x+1\le3}\) dla \(\displaystyle{ x}\) różniącego się od \(\displaystyle{ 1}\) o co najwyżej \(\displaystyle{ \delta=1}\). W takim razie wystarczy nam nierówność

\(\displaystyle{ |x-1|\le \varepsilon \cdot \frac23.}\)

Zgodnie z tym wzorem otrzymujemy \(\displaystyle{ (2,5)\cap\langle-3,3\rangle}\). Tu już żadnego dopełnienia nie ma.

Najprościej to zobaczyć na rysunku (albo w wyobraźni w razie braku kartki).