Matematyka.pl

tu było 6 dla n=2: 104569.htm

Wskazówka - zaznacz środki boków czworokąta i poszukaj równoległoboków
dla każdego równoległoboku o bokach a i b oraz przekątnych e i f zachodzi:
\(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)=e^2+f^2}\)
wykorzystaj to do udowodnienia tezy

z tw. Pitagorasa: AX^2+XO^2=R^2 weźmy M - środek odcinka PO, ze wzoru na środkową w OXP (gdy jest zdegenerowany też działa) MX= \frac{1}{2} \sqrt{2OX^2+2PX^2-OP^2}= \frac{1}{2} \sqrt{2OX^2+2AX^2-OP^2}= \frac{1}{2} \sqrt{2R^2-OP^2} , zatem MX jest stałe i wszystkie punkt X leżą na okręgu o środku w ...

udowodnimy, że istnieje dokładnie jeden punkt P o podanej własności i dokładnie jeden punkt Q o podanej własności załóżmy, że istnieje punkt R, różny od P i leżący wewnątrz taki, że: \sphericalangle RAC= \sphericalangle RCB= \sphericalangle RBA= \gamma 1. \gamma > \alpha wtedy R nie leży we wnętrzu ...

wygląda ok,
można też tak: \(\displaystyle{ \sqrt{3-2x} \le x \Leftrightarrow x^2+2x \ge 3}\) co jest prawdą, zatem:
\(\displaystyle{ ab \sqrt{3-2c} +bc \sqrt{3-2a} +ca \sqrt{3-2b} \le 3abc \le a^{3} +b^{3}+c^{3}}\)

jeśli liczbę można przedstawić w postaci, o której mowa w zadaniu mówimy, że jest dobra łatwo sprawdzić, że liczby 1,2,3,4 są dobre, będziemy rozumować indukcyjnie zauważmy, że jeśli liczba a jest dobra to 2a tez jest dobra (2a powstaje przez dopisanie 0 na końcu a) załóżmy prawdziwość tezy dla wsz...

jaka pała! a,b,c długości boków na przeciwko wierzchołków A,B,C, K, L środki AC i BC CM=CN= \frac{a+b-c}{2} \frac{a+b-c}{2} \le \frac{a}{2} \frac{a+b-c}{2} \le \frac{b}{2} z tego wynika, że M lezy bliżej C niż K, a N bliżej niż L prowadzimy prostą równoległą do AB przechodzącą przez punkt ( M lub N)...

tak

zadanie: podzbiorów n-elementowych zbioru \left\{ 1,2,...,2n \right\} mających sumę elementów parzystą (nazwijmy je podzbiorami typu A) [...}, co podzbiorów n-elementowych mających sumę elementów nieparzystą (typu B) zauważmy, że jeśli liczbie parzystej przypiszemy 1 a nieparzystej -1 to suma liczb ...

generalnie była impreza: 225235.htm i większość udzielających się zaliczyła zgona 12: szkic: Niech k(x,y)= \sqrt{ \frac{x^2+xy+y^2}{3} } bierzemy dowolne a,b rzeczywiste dodatnie, f(x)+ \frac{f(ax)+f(bx)}{2} = \frac{f(x)+f(ax)}{2} + \frac{f(x)+f(bx)}{2} f(x)+f(x \cdot k(a,b))=f(x \cdot k(1,a))+f(x \...

jeee, polewajcie kolejke

równoważnie n^2|(n-1)! widzimy, że n musi być złożone iloczynem nazwijmy (n-1)! zatem niech n=a \cdot b , gdzie a,b pewne naturalne a \le b \le \frac{n}{2} 1. gdy a=b mamy n=a^2 , dla a \le 4 sprawdzamy ręcznie natomiast dla a >4 w iloczyn wchodzą liczby a,2a,3a,4a i a^4 dzieli ten iloczyn 2. a < b...

\(\displaystyle{ f(a^2+b^2+c^2) \ge f(\frac{1}{3})}\)

źle jest, bo funkcja nie jest rosnąca dla dodatnich, jest rosnąca w każdym z dwóch przedziałów \(\displaystyle{ (0;1), (1, \infty)}\)

Żeby było do kompletu Dana jest tablica 2009 \times 2010 . Na początku więcej niż 2008 \times 2009 kwadracików jest białych, a reszta czarnych. Jeśli w kwadracie 2 \times 2 trzy kwadraciki są czarne, to automatycznie zaczernia się czwarty. Udowodnić, że cała tablica nigdy nie będzie zaczerniona.

darek20 pisze:

Ukryta treść:    

czy nie da sie tego rozwiązać sposobem binaja?
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+{(\frac{3-ab}{a+b})}^{3}+7ab(\frac{3-ab}{a+b}) \ge 10}\)

jakby doprowadzić do postaci:

\(\displaystyle{ (a^3+b^3+c^3+7abc)^2 \ge 100( \frac{ab+bc+ca}{3} )^3}\) to by poszło, być może trzeba by było liczyć pochodne cząstkowe kilka razy