Matematyka.pl

To jeszcze raz: "Jeżeli funkcja f:X \rightarrow Y jest injekcją to dla każdego zbioru A \subseteq X zachodzi równość A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] ." Ustalmy dowolne A \subseteq X , x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] oraz, że funkcja f:X \rightarrow Y jest injekcją. Wów...

Bardzo dziękuję. Czy ten sam dowód można sformułować również w taki sposób? Ustalmy dowolne A \subseteq X , x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] , t \in A oraz, że funkcja f:X \rightarrow Y jest injekcją. Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że f\left( x\right) \in f\left[ A\right] . S...

Dziękuję. Teraz chciałbym udowodnić równoważność: "Funkcja f:X \rightarrow Y jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] dla każdego zbioru A \subseteq X ." Dowód: Ustalmy dowolne A \subseteq X , x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \righ...

Dziękuję. Teraz chciałbym udowodnić inkluzję: "dla dowolnego zbioru A \subseteq X zachodzi inkluzja A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] , gdzie f:X \rightarrow Y jest dowolną funkcją oraz f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ x \in dom\left( f\right): f\left( x\right) \in...

Dziękuję za wszystkie sprostowania. Ponieważ chciałbym nauczyć się prawidłowego formułowania treści dowodów matematycznych wrócę raz jeszcze do dowodu, że nie dla każdego B \subseteq Y spełniona jest równość B=Y \setminus rng\left( f\right) , gdzie f:X \rightarrow Y . Chciałbym zastosować w tym wypa...

Tak, zdecydowanie chodziło mi o równość B\cap rng\left( f\right)=\emptyset . Dziękuję. Czyli podsumowując 1. Gdy funkcja f:X \rightarrow Y jest surjekcją to wtedy dla każdego zbioru B \subseteq Y zachodzi równość B\cap rng\left( f\right) = f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B . Nie istnieje w zw...

No jasne. Innymi słowy chodzi o taki podzbiór zbioru Y , który spełnia równość Y \setminus rng\left( f\right) \cap rng\left( f\right) =\emptyset . I tym podzbiorem zbioru Y jest właśnie zbiór Y \setminus rng\left( f\right) . W moim wypadku B=Y \setminus rng\left( f\right) . I faktycznie dla danej fu...

To może tak:

Jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).

W tym wypadku założeniem jest, że relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją.

DS

Chciałem udowodnić, że nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right) }\).


DS

To może w ten sposób: Zakładamy, że dla dowolnego zbioru B \subseteq Y zachodzi równość B= Y \setminus rng\left( f\right) . Wówczas nie istnieje y \in B takie, że y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) , gdzie x \in X . Skoro jednak dla dowolnego zbioru B zachodzi inkluzja B \subseteq Y wtedy ist...

Dziękuję. Faktycznie wystarczyło zauważyć, że przy dowolnym B \subseteq Y może zachodzić równość B= Y . Bo skoro prawdą jest, że B=Y to prawdą jest, że B \subseteq Y . Jednocześnie w dowodzeniu drugiej implikacji błędnie założyłem, że równość B=Y \setminus rng\left( f\right) zachodzi dla dowolnego B...

Czy jeżeli dowód drugiej implikacji zacząłbym od "ustalmy dowolne B \subseteq Y to mój dowód jest poprawny? Bo faktycznie jeśli B= Y\backslash rng\left( f\right) jest zbiorem pustym to wtedy Y= rng\left( f\right) czyli funkcja jest surjekcją. Nie rozumiem na jakiej podstawie można w tej sytuacj...

Dowód implikacji "jeżeli funkcja f jest surjekcją to zachodzi równość f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B dla dowolnego B \subseteq Y ." Z def. funkcja f jest surjekcją gdy zachodzi równość rng\left( f\right) =Y . Jednocześnie f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\...

Dziękuję. Chciałem teraz zapytać o dowód równoważności: "Funkcja f: X \rightarrow Y jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru B \subseteq Y zachodzi równość f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B . Dowód implikacji "jeżeli funkcja f jest surjekcją to zachodzi równość f\...

Faktycznie na tym etapie dowodzenia nie mogłem napisać, że zbiór \color{red}{B\cap rng\left( f\right)jest \ obrazem \ zbioru f^{-1}\left[ B\right] } bo tego należało dowieść. W takim razie raz jeszcze: Ustalmy dowolne y \in B\cap rng\left( f\right) . Wtedy y \in B oraz y \in rng\left( f\right) . Sko...