Matematyka.pl

Zrobiłem bijekcję \(\displaystyle{ (0;1] \rightarrow (0;1] \cup (2;3] \cup (4;5]}\), ponieważ chciałem sprawdzić czy to się będzie jakoś zmieniać wraz ze wzrostem n.

No tak to nie jest suma skończona. W przedziałach się tutaj machnąłem, ale funkcja jest dobrze zdefiniowana. Czy chodzi o coś innego?

Zbiór po prawej to nie będzie \(\displaystyle{ (0;1] \cup (1;2] \cup (2;3] \cup ... \cup (2n;2n+1]}\)?

Pokaż, że poniższe zbiory są równoliczne i skonstruuj odpowiednią bijekcję: k) \left( 0;1 \right] \sim \bigcup_{n\in \NN} \left( 2n;2n+1 \right] Sprawdziłem sobie dla n=3 . f \left( x \right) = \begin{cases} 3x, &x\in \left( 0; \frac{1}{3}\right\rangle \\3x+1, &x\in \left( \frac{1}{3}; \frac...

Wyznacz w zbiorze trójelementowym, wszystkie - z dokładnością do izomorfizmu - porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych? Widziałem jakieś wzory na poszczególne relacje, ale na porządki częściowe już nic nie mogę znaleźć. Nie rozumiem też o co chodzi "z dokładno...

Na zbiorze \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) określona jest relacja \(\displaystyle{ (n_1, m_1)<(n_2, m_2)}\) wzorem
a) \(\displaystyle{ \max (n_1, m_1)<\max (n_2, m_2)}\) lub \(\displaystyle{ \max (n_1, m_1)=\max (n_2, m_2) \wedge (n_1, m_1)\ll_{leks}(n_2, m_2)}\)

Wyznacz - jeśli istnieją - kres górny i kres dolny zbioru \(\displaystyle{ \{(n, m): 2\le n \wedge 4\le n\}.}\)

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V - lin(3x^2-x-2, x^2+2x+1, 2x^2-7x-5, 3x^2+2x+1)}\), a następnie podać współrzędne wektora \(\displaystyle{ w(x)=x^2-2x-1}\) w wyznaczonej bazie.

Udowodnij, że prawdziwa jest równoważność: \exists_{x} \forall_y(\Psi(x) \Rightarrow \Phi(y)) \Leftrightarrow \forall_x \exists_y(\Psi(y) \Rightarrow \Phi(x)) [\exists_{x} \forall_y(\Psi(x) \Rightarrow \Phi(y)) \Rightarrow \forall_x \exists_y(\Psi(x) \Rightarrow \Phi(y))]\Leftrightarrow \forall_x \e...

Niech \(\displaystyle{ f(x)= \frac{sinx}{x}}\), dla \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) niech będzie dodatnią liczbą naturalną. Udowodnij, że \(\displaystyle{ |f^{(n)}(x)|< \frac{1}{n+1}}\),
gdzie \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Czy wzór Leibniza coś tu da?

Do drugiego znaku równoważności jest dobrze?

Czy
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \times (A \setminus C) \Leftrightarrow (x\in A \wedge x\not\in B) \times (y\in A \wedge y\not\in C) \Leftrightarrow (x\in A \wedge y\in A) \wedge (x\not\in B \wedge y\not\in C) \Leftrightarrow (A\times A) \setminus (B\times C)}\)

Widziałem takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \exists_k(k\in \mathbb{N} \wedge (k^3+(k+1)^3+(k+2)^3)=n) \wedge \forall_{m}(\exists_{l} [l^3+(l+1)^3+(l+2)^3]=m) \Rightarrow m \ge n)}\)

No tak później jednak pomyślałem, że brakuje "i". Tak poza tym reszta jest dobrze, bo widziałem inne rozwiązanie z kwantyfikatorem dużym i za nim małym w drugiej części.

Drugi kwantyfikator jest zły? Początek jest w ogóle dobrze?

\(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszą liczbą naturalną, która jest sumą sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \exists_{k}(k\in \mathbb{N}(k^3+(k+1)^3+(k+2)^3=n)) \wedge}\)
\(\displaystyle{ \wedge \exists_{l, m}(l,m\in \mathbb{N} (l^3+(l+1)^3+(l+2)^3=m) \wedge m \ge n)}\)