Znaleziono 170 wyników
- 10 lip 2009, o 23:36
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 706
Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51
Zadanie 1 - brak Zadanie 2. Oznaczmy przez x wagę stopu pierwszego, a przez y wagę stopu drugiego (tzn ilość, jaką trzeba wziąć do końcowego stopu; interesuje nas oczywiście stosunek x do y) Z treści zadania otrzymujemy, że w pierwszym stopie jest \frac{1}{3}x miedzi i \frac{2}{3}x cynku. W drugim s...
- 10 lip 2009, o 23:35
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 5 lipca 2009, 13:47
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 731
Kategoria II, 5 lipca 2009, 13:47
Zad.1 Niech xy=z . Maksimum f(z)=z-z^{2} wynosi \frac{1}{4} . Wobec tego y^{6}+y^{3}+2x^{2}= \sqrt{xy-(xy)^{2}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow -y^{6}-y^{3}-2x^{2} \ge - \frac{1}{2} . Dodaję otrzymaną nierówność do nierówności z zadania: 4xy^{3}+ \frac{1}{2}-y^{6}-2x^{2} \ge -\frac{1}{2}+2x^{2}+ \sqrt{1...
- 10 lip 2009, o 23:35
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria I, 10 lipca 2009, 19:17
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 1914
Kategoria I, 10 lipca 2009, 19:17
Zadanie 1. Udowodnię, że w przedziale od 1 do 2009 nie istnieje 15 liczb całkowitych względnie pierwszych, nie będących liczbami pierwszymi. Aby liczba nie była pierwsza musi być iloczynem liczb pierwszych, najlepiej dwóch (wtedy jest możliwie najmniejsza), albo kwadratem liczby pierwszej. Pokaże że...
- 10 lip 2009, o 23:33
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 672
Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13
Zadanie 1. Odejmując stronami równania otrzymujemy: ( y^{3} -2x)^{2} \le \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} - \sqrt{1+(2x-y)^{2}} + \frac{1}{2} zauważmy, że xy-x^{2}y^{2} \le \frac{1}{4} zetem \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} \le \frac{1}{2} oraz \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1 stąd otrzymujemy, że 0 \le ( y^{3} -2x)^{2} \le \sq...
- 10 lip 2009, o 23:32
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:29
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 790
Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:29
Zadanie 1) Niech x, y\in R będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Zauważmy, że \sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(xy-\frac{1}{2})^2}\leq\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} , więc z warunków zadania dostajemy 2x^2+1\geq 2x^2+\sqrt{xy-x^2y^2}+\frac{1}{2}=4x^2+y^6+y^3+\frac{1}{2}= =(2x-y^3)^2+4xy^3+y...
- 10 lip 2009, o 23:30
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 680
Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17
zadanie 1 Najpierw zajmiemy się dziedziną: D=\{ (x,y) \in R^{2}: xy-x^{2}y^{2} \ge 0 \wedge 1+(2x-y)^{2} \ge 0} \} . Druga nierówność jest zawsze spełniona zajmiemy się pierwszą. Przekształcamy ją i mamy xy(1-xy) \ge 0 , a dalej rozważamy dwa przypadki (1) xy \le 0 \wedge 1-xy \le 0 (2) xy \ge 0 \we...
- 10 lip 2009, o 23:28
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 1900
Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27
Uwaga: Po naciśnięciu w link pojawi się ilustracja do zadania (przedstawia ona ważniejsze rzeczy [zad. 2 oraz 5]. Zadanie 1. Danych jest 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009, przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, ...
- 10 lip 2009, o 23:25
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 1768
Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25
Zadanie 1. Z: a_{1}, a_{2},...,a _{15} \in Z . 1 <a_{1} < a_{2}<...<a _{15} <2009 . Liczby a_{1}, a_{2},...,a _{15} są parami względnie pierwsze. T: Co najmniej jedna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} jest pierwsza. D: Udowodnijmy to nie wprost (załóżmy, że żadna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} nie ...
- 10 lip 2009, o 23:24
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria III, 7 lipca 2009, 22:41
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1911
- 10 lip 2009, o 23:21
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 675
Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37
zad. 2 1 stop zawiera: x miedzi 2x cynku 2 stop zawiera: 3y miedzi 5y cynku Stop 3 otrzymujemy z połączenia p% stopu 1 i (100-p)% stopu 2 i zawiera on z substancji. Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi ze stopu 1. = \frac{1}{3} p \% z . Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi z...
- 10 lip 2009, o 23:20
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 1812
Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43
1. Niech 0 \le a \le 1 . Znajdź wszystkie funkcje ciągłe f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+ spełniające trzy następujące warunki: \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2 Rozwiązanie: Pokażemy, że nie istnieje funkcja spełniająca za...
- 10 lip 2009, o 23:18
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 17:34
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 2142
Kategoria II, 10 lipca 2009, 17:34
Zad. 2 x:y stosunek w jakim należy wziąć oba stopy 1*x+3*y=5 2*x+5*y=9 x=5-3y 10-6y+5y=9 y=1 x=5-3=2 odp. Stosunek w jakim należy wziąć obydwa stopy to 2:1. Zad.3 Z:u _{n+1}=2u _{n} +7 dla n ge 1 T: u _{n} <9001 u_{1}=1 u _{2} =9 u _{3} =25 u _{4}=57 u _{5} =121 u _{6} =249 u_{7} =505 u_{8} =1017 u_...
- 10 lip 2009, o 23:17
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 6 lipca 2009, 13:24
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 654
Kategoria II, 6 lipca 2009, 13:24
2. x_{1} - ilość pierwszego stopu x_{2} - ilość drugiego stopu \frac{x_{1}}{x_{2}}=? Miedź stanowi \frac{1}{3} pierwszego stopu, \frac{3}{8} drugiego stopu i ma stanowić \frac{5}{14} stopu otrzymanego z połączenia tych dwóch stopów. Można więc ułożyć równanie: \frac{1}{3}x_{1}+ \frac{3}{8}x_{2}= \fr...
- 10 lip 2009, o 23:15
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1889
Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22
1. Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem: a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m} k,n,m=1,2,... gdzie p _{i} to liczba pierwsza. Składniki ciągu (a _{k}) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby. Może...
- 10 lip 2009, o 23:14
- Forum: Konkurs matematyka.pl
- Temat: Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 648
Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50
1. Zanim przejdę do rozwiązania zadania, wykażę lemat: Jeżeli dla dowolnych funkcji zmiennych rzeczywistych f(x,y), g(x,y) zachodzą wszystkie z poniższych trzech warunków: f(x,y) \le 0 (1) g(x,y) \le 0 (2) f(x,y)+g(x,y) \ge 0 (3) to: f(x,y)=g(x,y)=0 Dowód lematu: Sumując równości (1) i (2), mamy: f(...