Znaleziono 150 wyników

autor: King James
10 mar 2008, o 18:13
Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
Temat: udowodnic nierówność
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 519

udowodnic nierówność

robin5hood pisze:udiwodnij ze
\(\displaystyle{ \forall_{x\in R}\forall_{n\in N} |\sum_{k=1}^n sin(nx)sin(n^2x)|\leq 1}\)
\(\displaystyle{ S_n=|\sum_{k=1}^{n}sin(kx)sin(k^2x)|=|\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} [cos((k-1)kx)-cos(k(k+1)x)]|=}\)
\(\displaystyle{ |\frac{1}{2}[1-cos(n(n+1)x)]| 1}\)
autor: King James
9 mar 2008, o 20:06
Forum: Teoria liczb
Temat: ostatnia cyfra
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 475

ostatnia cyfra

Ponieważ:

\(\displaystyle{ 23^{23^{23}} \equiv (-1)^{23^{23}} \equiv -1 \equiv 3 \ \ (mod4)}\)

więc: \(\displaystyle{ 23^{23^{23}}=4k+3}\) dla \(\displaystyle{ k N}\) i

\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}=23^{4k+3} \equiv 3^{4k+3} \equiv 3^3 \equiv 7 \ \ (mod10)}\)
autor: King James
9 mar 2008, o 13:09
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Udowodnij
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 1062

[Nierówności] Udowodnij

Z warunku:

\(\displaystyle{ a+b=ab}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ a^2+b^2 qslant 2ab=2(a+b) qslant (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)
autor: King James
8 mar 2008, o 21:15
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Analiza] limes ilorazu
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 870

[Analiza] limes ilorazu

Lemat: Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb dodatnich, (\frac{a_{n+1}}{a_n}) jest zbieżny i \lim_{n \to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=g to \lim_{n \to\infty} \sqrt[n]{a_n}=g Dowód wynika z tw. o granicy ciągu średnich geometrycznych dla (\frac{a_{n+1}}{a_n}) dla n>1 i a_1 dla n=1 \lim_{n \to\infty} \frac{A...
autor: King James
6 mar 2008, o 18:32
Forum: Teoria liczb
Temat: dwumian newtona
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1035

dwumian newtona

\(\displaystyle{ f(x)=({n \choose 0}+{n \choose 1}x+...+{n \choose n}x^n)({n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}+...+{n \choose n})=(1+x)^{2n}}\)

Z jednej strony wynosi \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} ^{2}}\), a z drugiej \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\), skąd wynika dana tożsamość.
autor: King James
6 mar 2008, o 18:23
Forum: Teoria liczb
Temat: dwumian newtona
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1035

dwumian newtona

\(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}}\)

Odczytaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) na dwa sposoby.
autor: King James
4 mar 2008, o 14:55
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Nierówność
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 955

[Nierówności] Nierówność

Ponieważ: a^5+b^5+c^5 \ge 2\sqrt{a^5c^5}+b^5 więc wystarczy pokazać, że: 2\sqrt{a^5c^5}+b^5+5a^2bc^2 \ge 5ab^3c gdy b=0 nierówność jest oczywista, dalej załóżmy, że b>0 i mamy równoważnie: 2\frac{\sqrt{a^5c^5}}{b^5}+5\frac{a^2c^2}{b^4}+1 5 \frac{ac}{b^2} Niech \\ x=\frac{\sqrt{ac}}{b} , wtedy: 2x^5+...
autor: King James
3 mar 2008, o 16:23
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Udowodnij ze zachodzi rownosc
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 686

Udowodnij ze zachodzi rownosc

3.

\(\displaystyle{ (1+ab)^{2}+(1+cd)^{2}+(ac)^{2}+(bd)^{2} qslant 1}\)
\(\displaystyle{ (ab+cd+1)^2+(ac-bd)^2 qslant 0}\)
autor: King James
29 lut 2008, o 19:57
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: granica ciągu
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 571

granica ciągu

I Sposób

Dany ciąg jest ciągiem liczb dodatnich, łatwo pokazać, że jest malejący, skoro jest ograniczony z dołu i malejący, więc jest zbieżny, zatem jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n=g}\) to \(\displaystyle{ g=g(1-g)}\) czyli \(\displaystyle{ g=0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n=0}\).

II Sposób

Pokażemy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ x_n}\)
autor: King James
24 lut 2008, o 23:29
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Nierówność z warunkiem
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 959

[Nierówności] Nierówność z warunkiem

Sprowadzamy nierówność do postaci jednorodnej: 64(a+b+c+d)(ab+bc+cd+da+ac+bd) qslant 18(a+b+c+d)^3+96(abc+bcd+cda+dab) \iff 32(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2d+dc^2+d^2a+da^2+a^2c+ac^2+b^2d+bd^2 +3abc+3bcd+3cda+3dab) qslant 9(a^3+b^3+c^3+d^3)+102(abc+bcd+cda+dab) +27(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2d+dc^2+d^2a+da^2+...
autor: King James
15 lut 2008, o 22:12
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Rozwiaz w liczbach rzeczywistych
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 474

Rozwiaz w liczbach rzeczywistych

Wskazówka: po dodaniu stronami:

\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx+3-4x-4y-4z=0}\)
\(\displaystyle{ (x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=0}\)
autor: King James
5 lut 2008, o 21:10
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Ciągi][Teoria liczb] Podzielność wyrazów ciągu
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 803

[Ciągi][Teoria liczb] Podzielność wyrazów ciągu

Zauważ, że \(\displaystyle{ a_n}\) określa liczbę n-wyrazowych ciągów nieokresowych ze zbioru Z k różnych liczb naturalnych. Wszystkich ciągów z tego zbioru jest \(\displaystyle{ k^n}\) od nich odejmujemy ciągi okresowe o okresach długości równej dzielnikom n różnych od n, takich jest \(\displaystyle{ }\sum_{d}\)
autor: King James
5 lut 2008, o 15:43
Forum: Analiza wyższa i funkcjonalna
Temat: Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 806

Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości

Zauważ, że równość w nierówności zachodzi dla x=y=z gdyż jest ona równoważna: (x-y)^2 +(y-z)^2 + (z-x)^2 qslant 0 Ponieważ f jest ograniczona z dołu przez stałą, która jest osiągalna, więc wartość najmniejszą przyjmuje w tych punktach dla których korzystana nierówność staje się równością, czyli dla ...
autor: King James
30 sty 2008, o 17:47
Forum: Analiza wyższa i funkcjonalna
Temat: Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 806

Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości

Niech f będzie sumą kwadratów odległości punktu A(x,y,z) od punktów P_i(x_i,y_i,z_i) określoną na sferze x^2+y^2+z^2=1 wtedy: f(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n} [(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2] f(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n} (x^2+y^2+z^2)+\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2)-2x\sum_{i=1}^{n}x_i-2y\sum_{i=1}^{n}y_i-...
autor: King James
29 sty 2008, o 19:24
Forum: Konkursy lokalne
Temat: Zadania z ŚKM 2007/2008 - etap szkolny
Odpowiedzi: 13
Odsłony: 3777

Zadania z ŚKM 2007/2008 - etap szkolny

Zadanie 4. Wykaż, że jeśli liczby dodatnie a, b, c są długościami boków trójkąta, to spełniają nierówność a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 +4abc > a^3 + b^3 + c^3 . Niech: a=x+y , b=y+z , c=z+x \iff 2x=a+c-b , 2y=a+b-c , 2z=b+c-a i nierówność jest równoważna: (x+y)(x-y)^2+(y+z)(y-z)^2+(z+x)(z-x)^2+4(...