Znaleziono 150 wyników
Wyszukiwanie zaawansowane
- autor: King James
- 10 mar 2008, o 18:13
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: udowodnic nierówność
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 519
robin5hood pisze:udiwodnij ze
\(\displaystyle{ \forall_{x\in R}\forall_{n\in N} |\sum_{k=1}^n sin(nx)sin(n^2x)|\leq 1}\)
\(\displaystyle{ S_n=|\sum_{k=1}^{n}sin(kx)sin(k^2x)|=|\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} [cos((k-1)kx)-cos(k(k+1)x)]|=}\)
\(\displaystyle{ |\frac{1}{2}[1-cos(n(n+1)x)]| 1}\)
- autor: King James
- 9 mar 2008, o 20:06
- Forum: Teoria liczb
- Temat: ostatnia cyfra
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 475
Ponieważ:
\(\displaystyle{ 23^{23^{23}} \equiv (-1)^{23^{23}} \equiv -1 \equiv 3 \ \ (mod4)}\)
więc: \(\displaystyle{ 23^{23^{23}}=4k+3}\) dla \(\displaystyle{ k N}\) i
\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}=23^{4k+3} \equiv 3^{4k+3} \equiv 3^3 \equiv 7 \ \ (mod10)}\)
- autor: King James
- 8 mar 2008, o 21:15
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Analiza] limes ilorazu
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 870
Lemat: Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb dodatnich, (\frac{a_{n+1}}{a_n}) jest zbieżny i \lim_{n \to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=g to \lim_{n \to\infty} \sqrt[n]{a_n}=g Dowód wynika z tw. o granicy ciągu średnich geometrycznych dla (\frac{a_{n+1}}{a_n}) dla n>1 i a_1 dla n=1 \lim_{n \to\infty} \frac{A...
- autor: King James
- 6 mar 2008, o 18:32
- Forum: Teoria liczb
- Temat: dwumian newtona
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 1035
\(\displaystyle{ f(x)=({n \choose 0}+{n \choose 1}x+...+{n \choose n}x^n)({n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}+...+{n \choose n})=(1+x)^{2n}}\)
Z jednej strony wynosi \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} ^{2}}\), a z drugiej \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\), skąd wynika dana tożsamość.
- autor: King James
- 6 mar 2008, o 18:23
- Forum: Teoria liczb
- Temat: dwumian newtona
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 1035
\(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}}\)
Odczytaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) na dwa sposoby.
- autor: King James
- 4 mar 2008, o 14:55
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Nierówności] Nierówność
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 955
Ponieważ: a^5+b^5+c^5 \ge 2\sqrt{a^5c^5}+b^5 więc wystarczy pokazać, że: 2\sqrt{a^5c^5}+b^5+5a^2bc^2 \ge 5ab^3c gdy b=0 nierówność jest oczywista, dalej załóżmy, że b>0 i mamy równoważnie: 2\frac{\sqrt{a^5c^5}}{b^5}+5\frac{a^2c^2}{b^4}+1 5 \frac{ac}{b^2} Niech \\ x=\frac{\sqrt{ac}}{b} , wtedy: 2x^5+...
- autor: King James
- 29 lut 2008, o 19:57
- Forum: Własności i granice ciągów
- Temat: granica ciągu
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 571
I Sposób
Dany ciąg jest ciągiem liczb dodatnich, łatwo pokazać, że jest malejący, skoro jest ograniczony z dołu i malejący, więc jest zbieżny, zatem jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n=g}\) to \(\displaystyle{ g=g(1-g)}\) czyli \(\displaystyle{ g=0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n=0}\).
II Sposób
Pokażemy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ x_n}\)
- autor: King James
- 24 lut 2008, o 23:29
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Nierówności] Nierówność z warunkiem
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 959
Sprowadzamy nierówność do postaci jednorodnej: 64(a+b+c+d)(ab+bc+cd+da+ac+bd) qslant 18(a+b+c+d)^3+96(abc+bcd+cda+dab) \iff 32(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2d+dc^2+d^2a+da^2+a^2c+ac^2+b^2d+bd^2 +3abc+3bcd+3cda+3dab) qslant 9(a^3+b^3+c^3+d^3)+102(abc+bcd+cda+dab) +27(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2d+dc^2+d^2a+da^2+...
- autor: King James
- 5 lut 2008, o 21:10
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Ciągi][Teoria liczb] Podzielność wyrazów ciągu
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 803
Zauważ, że \(\displaystyle{ a_n}\) określa liczbę n-wyrazowych ciągów nieokresowych ze zbioru Z k różnych liczb naturalnych. Wszystkich ciągów z tego zbioru jest \(\displaystyle{ k^n}\) od nich odejmujemy ciągi okresowe o okresach długości równej dzielnikom n różnych od n, takich jest \(\displaystyle{ }\sum_{d}\)
- autor: King James
- 5 lut 2008, o 15:43
- Forum: Analiza wyższa i funkcjonalna
- Temat: Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości
- Odpowiedzi: 4
- Odsłony: 806
Zauważ, że równość w nierówności zachodzi dla x=y=z gdyż jest ona równoważna: (x-y)^2 +(y-z)^2 + (z-x)^2 qslant 0 Ponieważ f jest ograniczona z dołu przez stałą, która jest osiągalna, więc wartość najmniejszą przyjmuje w tych punktach dla których korzystana nierówność staje się równością, czyli dla ...
- autor: King James
- 30 sty 2008, o 17:47
- Forum: Analiza wyższa i funkcjonalna
- Temat: Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości
- Odpowiedzi: 4
- Odsłony: 806
Niech f będzie sumą kwadratów odległości punktu A(x,y,z) od punktów P_i(x_i,y_i,z_i) określoną na sferze x^2+y^2+z^2=1 wtedy: f(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n} [(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2] f(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n} (x^2+y^2+z^2)+\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2)-2x\sum_{i=1}^{n}x_i-2y\sum_{i=1}^{n}y_i-...
- autor: King James
- 29 sty 2008, o 19:24
- Forum: Konkursy lokalne
- Temat: Zadania z ŚKM 2007/2008 - etap szkolny
- Odpowiedzi: 13
- Odsłony: 3777
Zadanie 4. Wykaż, że jeśli liczby dodatnie a, b, c są długościami boków trójkąta, to spełniają nierówność a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 +4abc > a^3 + b^3 + c^3 . Niech: a=x+y , b=y+z , c=z+x \iff 2x=a+c-b , 2y=a+b-c , 2z=b+c-a i nierówność jest równoważna: (x+y)(x-y)^2+(y+z)(y-z)^2+(z+x)(z-x)^2+4(...