Matematyka.pl

Granica jest równa zero - \(\displaystyle{ f_n(x)}\) jest niezerowe tylko na przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac 2n \right)}\), więc w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ x_0\in [0,2]}\) jest \(\displaystyle{ f_n(x_0)=0}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\).
Natomiast gdyby zamienić miejscami granicę z całką, to okazałoby się, że wynik wychodzi niezerowy.

Q.

Jeśli położymy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}}=u , \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}=t}\), to otrzymamy prosty układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u-t=1 \\ u^3-t^3=19 \end{cases}}\)

Q.

Wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{x_1-x_i}}\) (dla \(\displaystyle{ i=2,3,4,5,6,7}\)) są liniowo niezależne oraz należą do jądra przekształcenia liniowego wyznaczonego przez \(\displaystyle{ A}\). Stąd jądro ma wymiar co najmniej \(\displaystyle{ 6}\), a zatem obraz przekształcenia (którego wymiar to właśnie rząd macierzy) ma wymiar co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\).

Q.

Chyba się zgadza, ale to dość skomplikowane rozwiązanie. Prościej byłoby najpierw policzyć wyznacznik macierzy A_u - jeśli jest niezerowy, to rząd tej macierzy jest równy trzy i na pewno jest większy niż rząd A (a tu chyba akurat |A_u|=-5 dla dowolnego a ). Natomiast gdyby dla jakichś a ten wyznaczn...

Post sprzed dokładnie 8 lat (moje początki na forum):

53385.htm#p211551

Q.

Wygląda ok, tylko jeszcze końcowa odpowiedź:

\(\displaystyle{ y= \frac{e^x(e^x+x)}{1+e^x} + \frac{C \cdot e^x}{1+e^x}}\)

Q.

\ln\left| y\right| = x - \ln\left| 1+e^{x}\right| + C\\ \\ e^{\ln\left| y\right|} = e^{x - \ln\left| 1+e^{x}\right| + C} \\ \\ y = \pm e^C \frac{e^x}{1+e^x} Zamiast \pm e^C możemy napisać po prostu C (bo to równie dobra stała): y= C\cdot \frac{e^x}{1+e^x} I teraz traktujemy C jako funkcję x , oblic...

Z tego, że \(\displaystyle{ \arc\tg 1 = \frac{\pi}{4}}\) nie wynika, że pochodna \(\displaystyle{ \arc\tg x}\) w jedynce jest równa tyle ile napisałeś w swoim rachunku. Przecież ta pochodna to \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+1}}\) - jaka jest więc jej wartość dla \(\displaystyle{ x=1}\)?

Q.

No przecież: \lim_{n\to \infty}\frac{ \sqrt[n]{ n!}}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{ \sqrt[n]{ n!}}{n+1}\cdot \lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}=\ldots Druga granica oczywiście jest równa jeden, a w myśl Twoich rachunków i drugiej wskazówki mamy dalej: \ldots = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n} \...

Wynik wyszedł dobry \frac{1}{e} , więc rachunki powinny być OK. Nie, to wyrażenie, które proponowałem obliczyć nie jest równe \frac 1e . Zgaduję, że wykonujesz nie te rachunki które zostały sugerowane, bo inaczej odpowiedź na pytanie: ...jaki to ma związek z granicą, którą chcę wyliczyć, czyli z \f...

To pokaż swoje rachunki, może nie skróciłeś wszystkiego co trzeba.

Q.

258511.htm

Q.

We wskazówkach chodzi o to, żeby policzyć ile wynosi wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n} }}\) dla \(\displaystyle{ x_n= \frac{n^n}{(n+1)^n}}\). Jak to zrobisz, to wszystko stanie się oczywiste.

Q.

Postać sumowanego wyrażenia mogłaby sugerować, że przerabiacie rachunek różnicowy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)

Q.

Żeby zrozumieć sens indukcji, można o niej myśleć jak o wchodzeniu na drabinę. W klasycznej wersji pokazujemy, że można wejść na pierwszy szczebel, a potem pokazujemy, że jeśli jesteśmy na sszczeblu n (dla n\ge 1 ) to da się wejść też na szczebel n+1 . I to wystarcza, żeby dało się wejść dowolnie wy...