Matematyka.pl

Czy haczyk jest ukryty nie wiem. Na pierwsze pytanie odpowiedź brzmi tak. A jeśli chodzi o te "dziwne" wartości to lepiej ich po prostu nie przybliżać tylko zostawić \(\displaystyle{ \sin 1}\) lub \(\displaystyle{ \cos 1}\).

Tu może być coś pomocnego: ... 7_przez_11

Jeśli mówimy o jednostajnej ciągłości trzeba jeszcze podać przedział, na którym mamy badać jednostajną ciągłość. W tym przykładzie zapewne chodzi o przedział (0, + \infty ) ale weźmy dowolne x_1, \ \ x_2 mamy wtedy: |f(x_1)-f(x_2)|=| \frac{1}{x_1}- \frac{1}{x_2}|=| \frac{1}{x_1*x_2} | *|x_1-x_2| Wid...

Nie ma co komentować. Ten przykład pokazuje tylko, że podana funkcja jest ciągła w punkcie x=1 chociaż zapis jest taki sobie. Jednostajna ciągłość to co innego niż ciągłość.

Nie zagłębiałem się bardzo ale widzę, że nie ma policzonej pochodnej po L. I w pewnym momencie dzielisz przez y gdzie wcale nie jest powiedziane, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\)

Chyba nie za bardzo. Najprawdopodobniej trzeba skorzystać z reguły de L'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sin x ^{\sin x} = \lim_{x \to 0} e^{ln((sinx)^{sinx})}=\lim_{x \to 0} e^{sinx*ln(sinx)}=e^{\lim_{x \to 0}sinx*ln(sinx)}=...}\)

Dobrze jest. Pokaże jak to wychodzi metodą, którą podałem: cosx=1- \frac{x^2}{2}+o(x^2) \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{1-cosx}{x^2} =\lim_{ x \to 0 } \frac{1-(1- \frac{x^2}{2}+o(x^2) )}{x^2} = \lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{x^2}{2}-o(x^2) }{x^2} = \lim_{x \to 0 } \frac{1}{2}- \lim_{x\to 0 } \frac{o(x^2)}{x...

A jeśli z tego nie to przypomniała mi się taka elegancka metoda rozwiązywań np takiej granicy. Mianowicie można rozwinąć funkcję cosinus w szereg taylora rzędu 2 i otrzymamy do policzenia granicę ilorazu wielomianów a z tym sobie radzimy już dość dobrze.

Z de L'Hospitala

Symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) nie oznacza, że granica nie istnieje. Jest to symbol nieoznaczony i w takim przypadku trzeba użyć innych metod liczenia takich granic np. reguła de L'Hospitala.

Cześć :) 3. Mam jeszcze jeden problem: Warunek konieczny istnienia ekstremum to: Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x oraz jest różniczkowalna w tym punkcie, to f'(x) = 0. Twierdzeniem odwrotnym do tego jest: Jeżeli f'(x)=0 to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x (i czy lub?) jes...

1. Czy ciąg a_{n}=\frac{-1^n}{n^2} jest zbieżny? Tak, jest on zbieżny do 0. I czy jak np część jego wyrazów, czyli jego podciąg jest zbieżny do 0 to on jest zbieżny? Założenie musi być silniejsze tzn. Jeżeli każdy podciąg danego ciągu jest zbieżny do g to granicą tego ciągu jest liczba g. Czy ma po...

Nie rozumiem nawet co chcesz pokazać. Zajmujesz się chyba tw. różniczkowalna \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) ciągła. A w poleceniu masz zająć się skonstruowanym przez siebie tw. odwrotnym.

Co do pierwszej części to masz rację. To się nazywa reguła Ostrogradskiego. A co do drugiej części nie umiem pomóc.

To ja może spróbuję. Więc zajmijmy się funkcją z=f(x,y) która ma pochodne cząstkowe po x i po y w punkcie P=(x_0,y_0) . Zastanawiamy się co to jest pochodna cząstkowa po x. Zgodnie ze wzorem: \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0)= \lim_{h \to 0 } \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} Weźmy teraz fun...