Matematyka.pl

Wskazówka na dobry początke:
i teraz szacuj z dołu pierwszą z całek po prawej stronie, w drugie szacuj wykorzystując nieujemność funkcji f.

Pochodna zeruje się dla \(\displaystyle{ x=1}\).
Dla \(\displaystyle{ x>1}\) mamy \(\displaystyle{ y'>0}\), natomiast dla \(\displaystyle{ x \in(0,1)}\) jest \(\displaystyle{ y'<0}\).

Ogólniej zachodzi coś takiego: jeśli \(\displaystyle{ M_t}\) jest martyngałem (względem filtracji \(\displaystyle{ F_t}\)), to dla funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(X_t)}\) jest podmartyngałem.
Wynika to z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ s \le t}\) to:

Zgadza się, czekamy na pytanie

To może coś takiego: Kto jest autorem powyższego cytatu oraz kim są wspomniane w nim osoby tj. przyjaciel i jego syn ?

Licznik i mianownik został przemnożony przez \(\displaystyle{ e^{x}}\)

Prof. Jacek Cichoń ?

Zapewne w równości \(\displaystyle{ P(min(X,X^2)>t)=P(X>t)P(X^2>t)}\) postulujesz niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ X^2}\) (bo dzięki temu można napisać \(\displaystyle{ P(min(X,X^2)>t)=P(X>t,X^2>t)=P(X>t)P(X^2>t)}\)) co nie jest zbyt rozsądne dla podanego rozkładu \(\displaystyle{ X}\)

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ M+1}\) to moment pierwszego sukcesu, który jest opisywany przez rozkład geometryczny (a takowy posiada m.in własność braku pamięci i oczywiście znaną np. wartość oczekiwaną).

Odnośnie szybszej wersji rozwiązania:

Mówienie o zbieżności do nieskończoności czy też rozbieżności to raczej kwestia umowy.
Tutaj jednak granicy nie ma, a by to zauważyć, to zamień teraz wartosciami \(\displaystyle{ x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\), co w połączniu z tym co już masz da to o co chodzi

Np. \(\displaystyle{ x_n=0}\) natomiast \(\displaystyle{ y_n}\) jakiś prosty, byle zbieżny do zera

Poszukaj odpowiednich podciągów.

Odnośnie parametryzacji -podstaw \(\displaystyle{ y=tx}\) i następnie wyznacz \(\displaystyle{ x}\) oraz\(\displaystyle{ y}\) w zależności od \(\displaystyle{ t}\).

Zatem: \(\displaystyle{ A(a,b,c)=(a+b,b+c,a+c,2c)}\) dla podanej, nieliniowej, funkcji f.