Matematyka.pl

Ad 1: Odejmijmy stronami jedynkę i dodajmy 3y.. Otrzymujemy, że x^2 -1=3y+16 . Skoro 3y+16=3y+15+1=3(y+5)+1 , to i lewa strona nie jest podzielna przez 3. Jednak x^2 -1=(x-1)(x+1) , a ponieważ wśród trzech kolejnych liczb naturalnych ( w tym przypadku x-1,x,x+1) jedna jest podzielna przez 3 i wiemy ...

We wszystkich trzech przykładach chyba jednak to n, a nie x ma zbiegać do nieskończoności. Ad 1: Zauważ, że -1 q \sin (n!) q 1 i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. Ad 2: Korzystając z własności logarytmu mamy 9^{ \log_{3} n }= 3^{2 \log_{3} n }= 3^{ \log_{3} n^2 }= n^2 . Podobnie mamy, że 4^...

Ad 9: Zauważmy, że prawdziwa jest nierówność (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 q 0 dla dowolnych liczb a,b,c \mathbb{R} . Przekształcając ją otrzymujemy: a^2 - 2ab+b^2 +b^2 - 2bc+ c^2 +c^2 - 2ca+ a^2 q 0 \\ 2(a^2 +b^2+c^2 - ab-bc-ca) q 0 \\ 2(a^2 +b^2 +c^2) q 2(ab+bc+ca) \\ 2(a^2 +b^2+c^2) +a^2+b^2+c^2 q 2(ab...

Pokażemy, że ciąg ten jest rosnący. Pytamy więc, że zachodzi: a_{n+1}>a_{n} \\ 3^{n+1} + (-2)^{n+1} > 3^n + (-2)^n \\ 3 \cdot 3^n +(-2) \cdot (-2)^n >3^n +(-2)^n \\ 2 \cdot 3^n +(-3) \cdot (-2)^n >0 Rozpatrzymy tutaj dwa przypadki. 1. Niech n=2k+1 . Wtedy mamy 2 \cdot 3^{2k+1} +(-3) \cdot (-2)^{2k+1...

Ad 1: Dwie liczby naturalne, których różnica wynosi dziesięc możemy przedstawić jako n, n+10 . Jeśli to ich iloczynu dodamy 25, to otrzymamy n(n+10)+25=n^2 +10n+25=(n+5)^2 . Ad 2: Podpowiedź n^3 -3n^2+2n=n(n^2 -3n+2)=n(n-2)(n-1) . Ad 3: Możemy zapisać, że a=5k+3 . Wtedy a^2+1=(5k+3)^2 +1=25k^2+30k+9...

Obliczmy wpierw miejsce zerowe funckji g: g(x)=0 \\ -|2-x|=0 \\ 2-x=0 \\ x=2 Wiemy więc, że f(2)=0 f(1)=-7 f(3)=5 . Rozwiązujesz więc układ równań 4a+2b+c=0 a+b+c=-7 9a+3b+c=5 . Stąd już obliczysz współczynniki a,b,c. Jeśli już narysujesz wykres funkcji g, to wykres fukcji h to po prostu wykres funk...

Zauważmy, że równość tę spełnia x=0 . Załóżmy, że x>0 . Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną tj. a_{1} + a_{2}+.... +a_{n} q n \sqrt[n]{ a_{1} a_{2} ... a_{n} } otrzymujemy: \sqrt{x} + \sqrt{ x^2} + \sqrt{ x^3} +... + \sqrt{ x^{1991}} =x^{ \frac{1}{2}} + x^{ \frac{2}...

Aby skorzystać z tego, co napisał wb wpierw należy wykazać, że ciąg ten jest ograniczony i monotoniczny. Łatwo indukcyjnie pokazać, że \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Niech wspólnym miejscem zerowym tych funkcji będzie x_{0} . Czyli x_{0}^2 + px_{0} +q=0 x_{0}^2 + qx_{0}+p=0 . Odejmując stronami otrzymujemy: x_{0} (p-q) +q-p=0 \\ x_{0} (p-q)=p-q \\ x_{0} = 1 Mogliśmy podzielić przez p-q , bo z założenia p - q 0 . Skoro x_{0}=1 , to 1+p+q=0 , więc p+q=-1 .

Ma zachodzić \(\displaystyle{ \frac{n^2 +1}{n} \mathbb{N}}\), czyli \(\displaystyle{ n + \frac{1}{n} \mathbb{N}}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ma być liczbą naturalną. A ponieważ jedynym naturalnym dzielnikiem liczby 1 jest liczba 1, więc \(\displaystyle{ n=1}\).

Zauważ, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi \frac{3^n}{3^n +2} < \frac{3^n +2}{3^n +2}=1 oraz \frac{3^n}{3^n +2} > \frac{0}{3^n +2}=0 . Stąd widzimy, że ciąg ten jest ograniczony i z dołu i z góry. Oczywiście istnieją inne ograniczenia, ale do tych nie trzeba niczego specjalnego wykazywać. Za to...

Zaćmiło mnie. Przepraszam. Oczywiście niczym to się *Kasiu nie różni

Ad 1: Pokażemy, że ten ciąg jest rosnący, czyli a_{n+1} >a_{n} . Zauważmy, że 4>2 , 4>3 , czyli: 4 \cdot 2^n > 2 \cdot 2^n, 4 \cdot 3^n > 3 \cdot 3^n \\ 4 \cdot 2^n + 4 \cdot 3^n > 2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n \\ 4( 2^n +3^n) > 2^{n+1} + 3^{n+1} \\ 4 \cdot 4^n ( 2^n +3^n) > 4^n ( 2^{n+1} + 3^{n+1}) \\ ...

Każdą całkowitą liczbę nieparzystą możemy przedstawić w postaci 2n+1 . Podnieśmy ją do kwadratu, a otrzymamy (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1 . Zauważmy, że liczba n(n+1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta ( czyli podzielna przez 2). Cz...

Wykażemy, że ciąg ten jest malejący, czyli \(\displaystyle{ a_{n+1}0}\), więc:
\(\displaystyle{ 2 - \frac{1}{2^n +1} < 2 \\ (2- \frac{1}{2^n +1})^n}\)