Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sqrt{a} \sqrt{b}= \sqrt{ab}}\) i pod pierwiastkiem masz wzór skróconego mnożenia

z lewej strony \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}\)
z prawej \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}}\)

Dlaczego jeśli liczymy kąt między dwoma prostymi, albo płaszczyznami, to korzystamy ze wzoru \cos \angle (u,v)= \frac{\left\langle u,v\right\rangle }{\parallel u\parallel \parallel v\parallel} , a jak między prostą i płaszczyzną, to \sin \angle(u,v)= \frac{\left\langle u,v\right\rangle }{\parallel u...

Mam sprawdzić, czy forma kwadratowa określona wzorem W((a,b),(c,d))=2ac+2ad+bc+5bd jest iloczynek skalarnym w \mathbb{R}^2 1. Jak muszę sprawdzić dodatnią określoność, to sprawdzam czy \left\langle x,x\right\rangle\ge 0 i po policzeniu W((a,b),(a,b)) =2a^2+2ab+ba+5b^2=(a+b)^2+a^2+ab+4b^2 wychodzi, ż...

No racja, jak to pisałem to już chyba nie myślałem, wychodzi b_1= \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2},b_2= \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} Tylko teraz powinienem napisać że nie ma elementu odwrotnego, bo jest różny dla każdego x_1,x_2 , czy też istnieje element odwrotny b=\left( \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2},\frac{-x_2}{x_1...

Chcę sprawdzić, czy istnieje element odwrotny w działaniu określonym (x_1,x_2)\ast (y_1,y_2)=(x_1y_1-x_2y_2,x_2y_1+x_1y_2) . Wiem że musi być spełnione \forall_{a\in G}\exists_{b\in G} a\ast b=b\ast a=e , wcześniej znalazłem element neutralny e=(1,0) . Teraz sprawdzam warunek: b=(b_1,b_2) \\ (x_1,x_...

tak

Jeżeli od razu nie widzisz, że granicą jest \(\displaystyle{ \infty}\) to możesz wyciągnąć \(\displaystyle{ n^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2(3n+6- \frac{1}{n^2} }{n^2(2+ \frac{8}{n^2}) }= \frac{3n+6-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{8}{n^2}}}\)
licznik dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), a mianownik do \(\displaystyle{ 2}\), natomiast \(\displaystyle{ \frac{8}{n^2},\frac{1}{n^2}}\) dążą do 0

Jeżeli potem chcesz to pomnożyć przez sprzężenie to powinnaś mieć 2\sin \frac{n+1-n}{2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}}\cos \frac{n+1-n}{2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}} ale w zasadzie nie musisz zamieniać tego przy cosinusie, bo wiesz że \cos \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} jest ograniczony, a \sin \frac{1}{2\sqrt{n+1}+2\...

Powinno być \(\displaystyle{ f(x)>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{f(x)}{f(x)}=1}\) gdy \(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{f(x)}{-f(x)}=-1}\) gdy \(\displaystyle{ f(x)<0}\)

Wykorzystaj wzór na różnice sinusów

Ok, ja myślałem że to ma być w drugą stronę, tzn mam sprawdzić, czy macierz \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} należy do centrum, czyli czy jest przemienne z każdym elementem grupy, czyli z dowolną macierzą \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&a...