Matematyka.pl

Ad 1: Załóżmy niewprost, że takie liczby a i b istnieją i spełniają to równanie. Dodatkowo możemy założyć, że liczby te są względnie pierwsze. Przypadek, gdy tak nie jest - łatwo sprowadzisz do tego tego samego typu równania. Zakładamy więc, że NWD(a,b)=1 . Z równania wynika, że a^2 musiałoby być po...

Ach, ach... nadmiar wiedzy szkodzi. Oj, szkodzi.

Zaczniemy od wyliczenia \sin 15^{\circ} . Skorzystamy z faktu, że \cos 30^{\circ}=1- 2 \sin^2 15^{\circ} . Wyliczamy z tego, że \sin 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{ 2- \sqrt{3}} }{2} . Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy, że \cos 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{3}}{2} . Korzystając z wzoru na sinus su...

Zauważ, że \cos 2x= 1 - 2 \sin^2 x , więc f(x)=- 2 \sin^2 x + \sin x+1 . Podstawiając t= \sin x , t otrzymasz funkcję kwadratową, której dziedziną jest . Z obliczeniem najmniejszej i największej wartości nie powinieneś mieć problemu, bo badasz czy wierzchołek baraboli znajduje się w tym przedziale, ...

Zauważ, że
\(\displaystyle{ 9^1 +9^2 +9^3 +9^4 +... +9^{19} +9^{20}=9(1+9)+9^3(1+9)+...+9^{19} ( 1+9)=9 10+ 9^3 10+ ... + 9^{19} 10=9 10 ( 1 +9^2+9^4+... + 9^{18})=90( 1 +9^2+9^4+... + 9^{18})}\)

Ad 2:
Pomnóżmy nierówność \(\displaystyle{ \sin x \cos x >-0,53}\) przez 2. Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x > -1,06}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \sin 2x \geq -1> -1,06}\), więc ta nierówność prawdziwa jest dla dowolnego rzeczywistego x.

Ad 1: Zauważ, że \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3} = \frac{ ( \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3} )(\sqrt{n+8} + \sqrt{n+3}) }{ \sqrt{n+8} + \sqrt{n+3}}= \\ \frac{ n+8-(n+5) }{ \sqrt{n+8} + \sqrt{n+3}} =\frac{5}{ \sqrt{n+8} + \sqrt{n+3}} \leq 1 Ostatnia nierówność wynika z faktu, że n \geq 1 , więc \sqrt{n+8} + \sqrt{n+3...

1. Zauważ, że to co masz w liczniku to a^2 \frac{c-b}{bc} + b^2 \frac{ a -c}{ac} + c^2 \frac{ b-a}{ab} . 2. Pomnóż licznik i mianownik przez abc , a otrzymasz \frac{ a^3 ( c-b) + b^3 (a-c) + c^3 (b-a) }{ a^2 (c-b) +b^2 (a-c) +c^2 (b-a)} . 3. Teraz będą żmudne rachunki. Będziemy tak przekształcać lic...

Wykażemy, że ciąg jest rosnący. Zakładamy, że \(\displaystyle{ a_{k+1}>a_{k}}\), więc teza indukcyjna to \(\displaystyle{ a_{k+2} >a_{k+1}}\). Dowód:
\(\displaystyle{ a_{k+2}=\sqrt { 2 a_{k+1}} > \sqrt{ 2 a_{k} }=a_{k+1}}\)
Pokażemy teraz, że ciąg jest ograniczony z góry przez dwa. Zakładamy oczywiście, że \(\displaystyle{ a_{k} 2}= 2}\)

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2= \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}= 1 + \sin \frac{x}{2}}\)

W takim razie czy teza powinna wyglądać tak: \(\displaystyle{ 3 \log_{c} a + \log_{a^2 } c q 4}\)?
Jeśli tak, to jest to nierówność fałszywa, np. dla \(\displaystyle{ a=c}\).

Teoria liczb to bardzo szeroko pojęta dziedzina. Problem niewymierności pierwiastka z liczby naturalnej się do teorii liczb zalicza. Nie ma czegoś takiego jak "obniżanie poziomu" w tym przypadku. W podstawówce, gimnazjum i LO pojawiją się problemy z teorii liczb, tylko raczej te bardzo ele...

Nigdzie nie jest napisane, że p jest liczbą wymierną.

Ad 1: Zauważ, że 3=1 3= 3 1 =(-1) (-3)=(-3) (-1) i te cztery możliwości przedstawienia liczby 3 w postaci ilorazu dwóch wyrażeń wyczerpują wszystkie kombinacje. Czyli masz do rozwiązania cztery układy równań, z których np. pierwszy będzie wyglądać tak x+y-1=1 x-2y=3 . Myślę, że już z samymi obliczen...