Matematyka.pl

Tak? Dla mnie "wzory skróconego mnożenia" zawsze oznaczały kwadrat sumy/różnicy, różnicę kwadratów bądź podobnie z trzecimi potęgami...

Lol :O Na tej stronie, którą podał Zordon, błędnie podali wartość \(\displaystyle{ e=2.71828182845 \textcolor{green}{904523536028747}... \neq 2.71828182845 \textcolor{red}{8563411277}...}\)

Ależ jest prawie dobrze, pomyłka to zaledwie minusik. I Chromosomowi nie chodziło chyba o wzór skróconego mnożenia, a rozkład wyrażenia na dwa czynniki

Dobrze by było również udowodnić, że n_1>n_2 \Leftrightarrow \left( 1+\frac{1}{n_1} \right)^{n_1} > \left( 1+\frac{1}{n_2} \right)^{n_2} . Wtedy będziesz mógł użyć prostego oszacowania a_n przez sąsiednie liczby naturalne, jak pisze kolega wyżej. P.S. Równości \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n...

Dlaczego minus w mianowniku to problem? Skoro \(\displaystyle{ \sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{-4}=-\sin 15^\circ}\), to \(\displaystyle{ \varphi=-15^\circ}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \cos(-15^\circ)=\cos(15^\circ)}\), to tym bardziej ok ;p

P.S. Obliczenia sprawdziłem, poprawne.

Pokaż, jak próbujesz to zrobić.

a_n=n(\sqrt{2}-\sqrt[2n+1]{2})>n \cdot \frac{1}{5} dla takich n , by \sqrt{2}-\sqrt[2n+1]{2}>\frac{1}{5} , tzn. n \ge k dla pewnego k \in \mathbb{N} . Z twierdzenia o dwóch ciągach dostajemy \lim_{n \to \infty} a_n= + \infty . b_{n}=\prod_{k=1}^{n} (\sqrt{2} - \sqrt[2n+1]{2})= (\sqrt{2} - \sqrt[2n+...

Pytasz, jak to połączyć z \(\displaystyle{ e^{-n}}\) - odpowiadam.
Granica ułamka to \(\displaystyle{ 1}\), zaś \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} e^{-n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^n}}\) chyba nietrudno policzyć

Napiszę tylko część właściwą drugiego kroku, resztę dopisz sam.

Niech \(\displaystyle{ 4^n+15n-1=9k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 4^{n+1}+15(n+1)-1=4 \cdot 4^n+60n-45n+15-4+3=4 \cdot 4^n+4 \cdot 15n-4 \cdot 1-45n+18=4 (4^n+15n-1)-45n+18=9(4k-5n+2)}\).

W takim wypadku - z głowy. Wiemy, że dla x in [0, 2 pi) równanie \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} ma dwa rozwiązania: x=\frac{\pi}{3} \vee x=\frac{2 \pi}{3} . Podobnie, równanie \cos(x)=-\frac{1}{2} jest spełnione dla x=\frac{2 \pi}{3} \vee x=\frac{4 \pi}{3} . Wspólne rozwiązanie to x=\frac{2 \pi}{3} . Z ...

Kettner , nie, nie starczy Udowodniłeś, że jeśli dla każdego \mathbb{A} \subseteq \mathbb{X} zachodzi \mathbb{A}=f \left[ f^{-1} \bigl[ \mathbb{A} \bigr] \right] , to f jest injekcją. Wciąż jednak brak dowodu, że jeśli f jest injekcją, to dla każdego \mathbb{A} \subseteq \mathbb{X} zachodzi \mathbb...

Czego nie czaisz?

Niech \(\displaystyle{ n=a^2+b^2, \quad m=c^2+d^2}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ n^2=(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 \\
2n=2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2 \\
m \cdot n = \bigl( a^2+b^2 \bigr) \bigl( c^2 + d^2 \bigr) = \bigl(ac-bd\bigr)^2+\bigl(bc+ad\bigr)^2}\).

Z głowy możemy wydobyć wzorek prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \sin^2(x) + \cos^2(x)=1}\),

który mówi nam, że powyższy układ równań jest sprzeczny.