Matematyka.pl

Czyli mogę rozwijać dopiero jak w liczniku nie ma \(\displaystyle{ z}\)?

Nie wiem jak sobie poradzić z takim przykładem:
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{5z-9}{(z-4)^6(z-5)(z-2)}, z_0=4}\)

Czy mam tutaj wyciągnąć \(\displaystyle{ \frac{5z-9}{(z-4)^6}}\) przed sumę, a z reszty zrobić szereg geometryczny?

Wyznacz maksymalne pierścienie o środku w \(\displaystyle{ z_0=3}\), w których funkcja \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{(z^2-8z+15)(z^2+16)}}\) rozwija się w szereg Laurenta.

O co tu chodzi?

Punkty osobliwe w funkcjach:

a) \(\displaystyle{ \frac{\sin^7 z^3}{z^{21}}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^3 z}}\)

Wyszło mi
a) \(\displaystyle{ z_0=0}\) punkt pozornie osobliwy
b) \(\displaystyle{ z_0=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) biegun 2-krotny
Czy to jest dobrze?

A skąd mam wiedzieć, że jest holomorficzna akurat w takim kole, od czego to zależy?

Obliczyć residuum \(\displaystyle{ (z+6)\sin\frac{1}{z-1}}\) w pkt \(\displaystyle{ z_0=0}\).

Na razie wiem, że \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{z-1}=\sum \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{(z-1)^{2n+1}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{z+6}=\frac{1}{7} \sum \frac{(z-1)^n}{(-7)^n}}\). Co dalej?

Jak określić typ punktu osobliwego dla funkcji \(\displaystyle{ z^5\sin\frac{1}{z}}\)?
Zapisuję to inaczej \(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{1}{z}}{z^{-5}}}\), ale nie da się policzyć \(\displaystyle{ f(0)}\) dla \(\displaystyle{ f(z)=\sin\frac{1}{z}}\).

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{(z-1)^2(z+2)}, z_0=1}\)
Dlaczego w tej sytuacji liczy się osobno na zewnątrz okręgu i wewnątrz, i od czego to zależy?

Wyznaczyć obszar, w którym zbieżny jest szereg Laurenta \(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1}4^n(z-1)^n+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(z-1)^n}\) i znaleźć jego sumę.

Pokazać, że \(\displaystyle{ \int_{|z|=1} z^n dz=\begin{cases}0, \ n\neq -1 \\ 2\pi i, \ n=-1\end{cases}}\).

Tylko że wtedy trzeba liczyć n pochodnych, a nie zawsze jest na to czas na kole.

b) Widzę błąd, teraz jest dobrze?
\(\displaystyle{ f=\cos z^4-1}\)

\(\displaystyle{ f'=-\sin z^4\cdot 4z^3}\)
\(\displaystyle{ -\sin z^4}\) ma krotność 4
\(\displaystyle{ 4z^3}\) ma krotność 3
\(\displaystyle{ f'}\) ma krotność \(\displaystyle{ 4+3=7}\) więc f ma krotność 8

Określić krotność zera \(\displaystyle{ z_0=0}\) funkcji:
a) \(\displaystyle{ \cos^4z-1}\)
b) \(\displaystyle{ \cos z^4-1}\)
c) \(\displaystyle{ \sin^2z^5 \tan^3z^3}\)
d) \(\displaystyle{ (e^{z^3}-1-z^3)\sin^2z^7}\)

Proszę o sprawdzenie moich wyników:
a) 1
b) 4
c) 19
d) 14

Dobra, chyba mam. Jak podstawię \(\displaystyle{ t=z^2}\), to wtedy
\(\displaystyle{ \frac{1}{t+1}=\frac{1}{t-0+1}=-\frac{1}{1-\frac{t-0}{-1}}=-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{t-0}{-1})^n=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{-n}t^n=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{-n}z^{2n}}\)
Czy tak będzie poprawnie?

Znaleźć szereg Taylora dla \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z^2+1}}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_0=0}\).
Wiem co zrobić w przypadku, gdyby nie było kwadratu, a tutaj jak podstawię za kwadrat nową zmienną, to nie wiem jak wrócić do poprzedniej.