Matematyka.pl

Zoltan96 pisze:Skąd jednak biorą się podane w książce założenia?
\(\displaystyle{ x \neq -2 \wedge x \neq 0 \wedge x \neq 1}\)

Zapewne z błędu w druku, bo dziedzina to istotnie \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ -2,0,2\right\}}\)

Q.

proudPolak pisze:\(\displaystyle{ n^{2n+1}-(n+1)^{n+1}=0}\)

A co to za równość i skąd ją wziąłeś?

Q.

PiotrowskiW pisze:Polecam wzór Stirlinga.

Po co?

Q.

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}\)

Q.

Nie wiem czy prostszy, ale trochę inaczej: Wiemy, że a^3-3a+1=0 . Łatwo stąd obliczyć, że a^2-2= 1- \frac 1a . W takim razie: (a^2-2)^3- 3 (a^2-2) +1 = \left( 1 - \frac 1a\right)^3 - 3 \left( 1- \frac 1a\right) +1 =\\ = 1 - \frac 3a + \frac{3}{a^2} - \frac{1}{a^3}-3 + \frac 3a +1 = -1 +\frac{3}{a^2}...

mertens pisze:Przykład 1.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac{5-3 ^{n} }{3 ^{n}-2 } = 5}\)

Myślę, że jak bardzo nie będziesz się starał, to takiej równości nigdy nie udowodnisz. Ta granica nie jest równa \(\displaystyle{ 5}\).

Q.

Przecież dzielenie przez \(\displaystyle{ a}\) to to samo co mnożenie przez \(\displaystyle{ \frac 1a}\), więc odpowiedź dla mnożenia i dzielenia musi być taka sama.

Q.

Przy rozwiązywaniu układów równań wolno mnożyć wiersz przez dowolną niezerową liczbę (bo odpowiada to pomnożeniu odpowiedniego równania stronami przez taką liczbę), ale nie wolno mnożyć kolumny (bo odpowiadałoby to wprowadzeniu nowych zmiennych w układzie równań).

Q.

Zapis jest niefortunny, bo sugeruje, że jest jedno ustalone a . Proponowałbym moc zbioru A oznaczać tradycyjnie: |A| . Ponadto oznaczenie N jest zarezerwowane na zbiór liczb naturalnych, więc i tu przydałoby się inne. A dodatkowo myślę, że rozpatrujemy raczej zbiór \{ 1,2, \ldots , n\} , bo inaczej ...

Dodanie stronami, przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i uporządkowanie daje:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{2x}\right)^2+\left( 1- \frac{1}{2y}\right)^2+\left( 1- \frac{1}{2z}\right)^2=0}\)

Q.

\(\displaystyle{ \sum_{k,l,m\ge 1} \frac{1}{2^k3^l5^m}= \sum_{k\ge 1} \frac{1}{2^k}\sum_{l\ge 1} \frac{1}{3^l}\sum_{m\ge 1} \frac{1}{5^m}= \frac{ \frac 12}{ 1-\frac 12}\cdot \frac{ \frac 13}{ 1-\frac 13} \cdot \frac{ \frac 15}{ 1-\frac 15}= \frac 18}\)

Q.

To przyjrzyj się jakiemuś przypadkowi dla konkretnego \(\displaystyle{ n}\). Na przykład: jak można podzielić dziesięć identycznych pączków na osiem porcji?

Q.

Skorzystaj z kombinatorycznej definicji liczb Stirlinga. Pytamy o liczbę podziałów zbioru n -elementowego na n-2 niepustych podzbiorów. Są dwie opcje: albo będzie jeden zbiór trzyelementowy, a reszta jednoelementowe; albo też będą dwa dwuelementowe a reszta jednoelementowych. Ile jest dobrych podzia...

waliant pisze: w tym przypadku \(\displaystyle{ 2x=4 \Rightarrow x=2}\)

Nie.
\(\displaystyle{ 2x=4 \Rightarrow 2(x-2)=0}\)
W ciele to wystarczy by \(\displaystyle{ x=2}\), ale tutaj równie dobrze może być \(\displaystyle{ x-2=5}\), bo mamy \(\displaystyle{ 2\cdot 5 = 0}\). Stąd dostajemy dwa rozwiązania \(\displaystyle{ (2,1)}\) i \(\displaystyle{ (7,6)}\).

Q.

Moim zdaniem ten zapis jest nieprecyzyjny, bo nie wiadomo po czym jest która suma. Ale można się domyślić, że B to ustalony zbiór, po lewej pierwsza suma jest po A , a druga po C , natomiast po prawej pierwsza po C , a druga po A . Wystarczy teraz zauważyć, że w obu przypadkach sumujemy po wszystkic...