Matematyka.pl

Są, wystarczy położyć:

\(\displaystyle{ f:\langle\mathbb{N},0,+\rangle\to \left\langle\{5^n:n\in\mathbb{N}\},1,\star\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ f(i)=5^i}\).

Konstrukcję warto zacząć od pokazania następującego faktu: Istnieje nieskończenie wiele n\in\mathbb{N} takich, że istnieje nieskończenie (a nawet nieprzeliczalnie) wiele rozłącznych podzbiorów borelowskich o mierze należącej do przedziału \left(\frac 1{n+1},\frac 1n\right) . Jest to jasne, bo mamy n...

Wystarczy wykazać, że w każdym okręgu istnieją podzbiory dowolnie małej dodatniej miary, czyli że dla każdego okręgu S istnieje rodzina \mathcal{S}(S)=\{A_n(S):n\in\mathbb{N}\} podzbiorów borelowskich A_n(S)\subseteq S takich, że 0<\mu(A_n(S))\le\frac 1n . Mając te podzbiory dla każdego okręgu nietr...

\(\displaystyle{ 2x^5+2x^4-8x-8=(2x+2)(x^4-4)=2(x+1)(x^2-2)(x^2+2)=}\)

\(\displaystyle{ =2(x+1)(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x^2+2)}\)

Wielomian \(\displaystyle{ x^2+2}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych, zaś liczby \(\displaystyle{ \pm\sqrt 2}\) są niewymierne, więc jedyny wymierny pierwiastek to \(\displaystyle{ x=-1}\).

Z jednego z wielu miejsc w sieci, w których każda osoba w miarę sprawnie posługująca się komputerem i dodatkowo niejednocześnie głupia i leniwa powinna te wartości sprawdzić, zanim je bezmyślnie przepisze, bo mogą być błędne, omyłkowo źle przepisane (tak, jak zresztą całe rozwiązanie). Poza tym: 258...

Zad 2. X - średnia długość rozmów. s=5.6 - odchylenie m=14.5 - średnia n=17 - wielkość próby. Stosujemy rozkład t : t:=\frac{X-m}{s}\sqrt n czyli X=\frac{ts}{\sqrt n}+m 95% przedział ufności dla rozkładu t z n-1=16 stopniami swobody: -2.12<t<2.12 skąd: przedział ufności dla X : \left(-\frac{2.12\cdo...

Wzór bierze się stąd: w przedziale (-1,1) zachodzi: \frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n . W tym przedziale szereg potęgowy po prawej jest zbieżny bezwzględnie, więc możemy różniczkować "wyraz po wyrazie": \frac 1{(1-x)^2}=\left(\frac 1{1-x}\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{...

Od razu widać, że para (96,24) jest rozwiązaniem. Ale jeśli już koniecznie rozwiązanie musi być ciągiem jakiś kroków, to zauważmy, że 96=3\cdot 32 , więc przynajmniej jedna z liczb musi być podzielna przez 32 i niepodzielna przez większą potęgę 2 . Ta liczba jest więc jedną z dwóch możliwych: 32 lub...

No, ale o liczbach zespolonych nierzeczywistych trudno mówić, że leżą pomiędzy dwoma liczbami rzeczywistymi.

Nie twierdzę, że to najkrótszy argument, ale przesunięcie wydawało mi się w miarę proste w obsłudze.

r pozwala uniknąć pierwiastkowania liczb ujemnych dla parzystych n . Wielomian (x+r)^n-\frac pq jest natomiast wielomianem minimalnym elementu t=\sqrt[n]{\frac pq} , bo gdyby istniał wielomian w\in\mathbb{Q}[x] niższego stopnia, taki, że w(t)=0 , to wielomian w(x-r) , również stopnia mniejszego niż...

Nie znam się na tym. Pobieżnie jest mi znany argument o liczbach definiowalnych w języku pierwszego rzędu teorii zbiorów (czyli z istotnymi założeniami dotyczącymi języka), ale nie zaryzykuję improwizowanego dowodu. Tym niemniej jest to fakt klasyczny, więc logicy w kilku linijkach pewnie wypiszą, a...

Istnieje liczba wymierna r , taka, że a+r>0 . W przedziale \left((a+r)^n,(b+r)^n\right) istnieje (nawet nieskończenie wiele) liczb wymiernych postaci \frac pq , gdzie p jest liczbą pierwszą. Wówczas liczba \sqrt[n]{\frac pq}-r\in(a,b) jest algebraiczna stopnia n , bo jej wielomian minimalny to (x+r)...

Interesuje cię dowód, że podzbiór liczb definiowalnych w liczbach rzeczywistych jest przeliczalny, czy chcesz sobie o tym porozmawiać? Jeśli to pierwsze, to póki co przedstawiony przez ciebie argument ma luki (możesz pójść na łatwiznę i znaleźć poprawny w sieci) jeśli to drugie, to poproś moderatora...

Kres górny to funkcja. Człowiek może w skończonym czasie wypowiedzieć wiele zdań zawierających słowa (w razie potrzeby je odmieniając) "kres", "górny", "wszystkie", w wielu językach słowa te istnieją. Mnie cały czas chodzi nie o to, żeby podważyć tezę, lecz o to, jak po...