Matematyka.pl

Johnny Cash: Wreck of the Old 97?

Tak jak pisze Premislav, wyznaczanie wzoru ogólnego jest zupełnie niepotrzebne, ale jeśli Cię to ciekawi, to \(\displaystyle{ a_n = \sqrt{2} \ctgh \left( 2^{n-1} \cdot \text{arc ctgh} \left( \sqrt{2} \right) \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \text{arc ctgh} \left( \sqrt{2} \right) \approx 0{,}8814}\).

Teraz podstawiasz do tej przekształconej nierówności wzór rekurencyjny ciągu, otrzymując: a_{n+1} + a_n > a_{n_+1} \Leftrightarrow a_n > 0 Czyli oprócz poprzedniego warunku ( a_2 > a_1 ) chcesz też, żeby wszystkie wyrazy były dodatnie. Ostatecznie potrzeba i wystarczy więc, by 0 < a_1 < a_2 .

Dario1 pisze:No wiadomo, że chodzi o należenie, ale przecież nie napisze udowodnij "należenie".

A dlaczego tak nie zrobisz? I dlaczego ze wszystkich innych rzeczy od należenia wybrałeś akurat zawieranie?

Ciąg jest rosnący, jeśli dla wszystkich naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ a_{n+1} > a_n}\). Numerowanie nie ma aż tak dużego znaczenia, więc można to zapisać jako \(\displaystyle{ a_{n+2} > a_{n+1}}\) i dopilnować, by nie objęte tym warunkiem \(\displaystyle{ a_2}\) było większe od \(\displaystyle{ a_1}\).

To nie jest prawdą dla dowolnych zbiorów, a tylko dla tych skończonych.

Dowodzić moim zdaniem najlepiej posiłkując się diagramem Venna, po narysowaniu którego zastanawiasz się, ile razy zliczone zostały elementy po lewej stronie równości i ile razy zostały zliczone po prawej.

Dalej nie. Dorzuć do powyższych zbiorów przedział \(\displaystyle{ [1; 2]}\). Wówczas przekrój się powiększy o ten przedział, a infimum pozostanie bez zmian.

Teza jest natomiast prawdziwa, gdy te dwa zbiory są ograniczone z góry, natomiast nie są ograniczone z dołu. Dalej nie jest. Rozważ na przykład A = \{0\} \cup \{-2k: k \in \NN\}, B = \{0\} \cup \{-2k-1: k \in \NN\} . Wówczas oba te zbiory są ograniczone z góry, nie są ograniczone z dołu, zaś A \cap...

To nie jest prawdą dla dowolnych niepustych zbiorów ograniczonych. Np. weź \(\displaystyle{ A = B = \{0\}}\) rozpatrywane jako podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\). Jak najbardziej wtedy \(\displaystyle{ A \cap B}\) ma infimum.

Jako że \(\displaystyle{ b > 0}\), to równoważnie:
\(\displaystyle{ b^2 + 1 \ge 2b \Leftrightarrow b^2 - 2b + 1 \ge 0 \Leftrightarrow (b-1)^2 \ge 0}\), co jest oczywiste.

Też. Zbyt kombinatorycznie do tego podszedłem. Twoje rozwiązanie faktycznie jest trochę szybsze.

W tym przypadku właśnie bardziej sensowną dziedziną wydała mi się \(\displaystyle{ \RR _+}\), stąd moje pytanie.

Podstawowe pytanie: jaka jest dziedzina?

Nie. \(\displaystyle{ x^a \cdot x^b = x^{ab}}\), ale nie przy dodawaniu.

\(\displaystyle{ 9^n}\). Najłatwiej to zobaczyć, jak wyciągniesz je przed znak pierwiastka.