Matematyka.pl

Odnośnie terminów to w tamtym roku wysyłanie było do 7 grudnia, a odpowiedź dostałem 27 stycznia. Myślę, że w tym roku odpowiedzi powinny przyjść przed świętami.

Znaleźć wszystkie pary liczb \(\displaystyle{ (x,y) \in R _{+}}\) równania \(\displaystyle{ \frac{x}{a} + \frac{y}{b}= \frac{8xy}{(1+ax)(1+by)}}\) , jeżeli \(\displaystyle{ a,b>0}\).

Wykazałem dla \(\displaystyle{ a,b>0}\), że \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}-ab+b ^{2} }{a ^{2}+ab+b ^{2} } \ge \frac{1}{3}}\)
I co dalej?

Jak indukcyjnie?
Jak postawię tezę to w ostatnim symbolu mam: \(\displaystyle{ n\choose n+1}\) - sprzeczność

Raczej nie ma tam pomyłki

Mógłby ktoś zapisać za pomocą funkcji klamerkowej funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2x \cdot sgn[x]}\) .
\(\displaystyle{ [x]}\) - cecha liczby \(\displaystyle{ x}\)
Ile rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\) ma równanie \(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}-a ^{2}}\)

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ c}\),\(\displaystyle{ d}\) są liczbami całkowitymi, przy czym \(\displaystyle{ c \neq 0}\), \(\displaystyle{ d>0}\),to równanie \(\displaystyle{ x ^{3}-3cx ^{2}-dx+c=0}\) ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

Wykazać, że jeżeli W(x) jest wielomianem stopnia nieparzystego, którego współczynniki saliczbami nieparzystymi, to równanie W(x)=0 nie ma rozwiązań wymiernych. Próbowałem gdy x jest parzyste i x jest nieparzyste i chciałem dojść do sprzeczności, np. Gdy x jest parzyste tol ewa strona jest nieparzyst...

Wykazać, że jeżeli równania \(\displaystyle{ x ^{3}+ax+b=0}\) i \(\displaystyle{ x ^{3}+cx+d=0}\) mają wspólny pierwiastek, to \(\displaystyle{ (ad-bc)(a-c) ^{2}=(b-d) ^{3}}\).

Sorry miało być:
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{6} + \left[ \frac{\pi}{6x} \right])= \frac{1}{2}}\)

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{6}+ \left[ \frac{\pi}{6} \right])= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[x \right]}\) oznacza cechę liczby \(\displaystyle{ x}\)
Wyszło mi \(\displaystyle{ x> \frac{\pi}{6}}\). Proszę o zweryfikowanie wyniku.

Wykaż, że jeżeli punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ r}\) jest długością promienia tego okręgu, zaś \(\displaystyle{ R}\) długością promienia okregu opisanego na tym trójkącie, to \(\displaystyle{ \left|OA \right| \cdot \left| OB\right| \cdot \left|OC \right|=4r ^{2} \cdot R}\).

Właśnie wykorzystując zapisaną przez ciebie równość doszedłem do prostszej postaci: \(\displaystyle{ \frac{p}{R}=sin\alpha+sin\beta+sin\gamma}\). I co dalej?

Mnożysz wszystkie wyrażenia po lewej stronie i przyrównujesz do strony prawej.

Dowieść, że: cos \frac{\alpha}{2} \cdot cos \frac{\beta}{2} \cdot cos \frac{\gamma}{2}= \frac{p}{4R} \alpha , \beta , \gamma - miary katów wewnętrznych trójkąta p -połowa obwodu trójkąta R -promień okręgu opisanego na trójkącie Doszedłem do takiego czegoś: \frac{p}{4R}= \frac{sin\alpha+sin\beta+sin\...