Matematyka.pl

Nieskończoną liczbę razy, a tak być nie może bo każdy wielomian zmiennej x przy x dążącym do nieskończoności dąży do plus-minus nieskończoności, a więc od pewnego x wielomian jest funkcją ściśle rosnącą lub malejącą, zatem nie może przyjmować dalej wartości p . Dobrze? Dodano po 8 godzinach 44 minut...

Chyba nie wiem jak to uzasadnić. Chcę uzasadnić, że dla pewnego k zachodzi a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}+1 \neq \pm 1 , ale co dalej? Jeśli dla pewnego k jest a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}=0 to dla jakiegoś innego k powinno być to już różne od zera. Wiem jedynie, że a_n...

Dobra no w zasadzie kupuję to co napisałeś poza samą końcówką. Jak uzasadniasz, że |xyz| > |x+y+z| ? Może wystarczy napisać, że z tego co wcześniej napisałeś wynika, że równość |xyz|=|x|+|yz| będzie zachodzić wtedy i tylko wtedy, gdy |x|=|yz|=2 i jednocześnie |y+z|=2 , a tak być nie może. No, ale mo...

Ok to pokażę, że p|W(p^k) dla dowolnego k naturalnego. Mamy W(p^k)=a_n(p^k)^n+a_{n-1}(p^k)^{n-1}+...+a_1p^k+p=p(a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}+1) . W nawiasie jest liczba całkowita, zatem faktycznie p|W(p^k) dla dowolnego k naturalnego. No dobra, ale jak pokazać, że dla pewnego k natur...

Ok, no Wolfram wypluł mi, że tym \(\displaystyle{ NWD}\) tych liczb jest \(\displaystyle{ 1}\), ale chciałbym wiedzieć, czy te cząstkowe rachunki też są w porządku. Jeśli nie chce Ci się tego liczyć to powiedz mi chociaż czy dobrze tutaj stosuję algorytm Euklidesa.

Ok w takim razie niech W(0)=p=a_0 , gdzie p jest liczbą pierwszą. Mamy, że W(W(0))=W(p)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+p=p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+...+a_1+1) i teraz już można prawie na pewno powiedzieć, że to ostatnie to liczba złożona podzielna przez p tylko nie wiem jak uzasadnić, że to co w na...

Znaleźć NWD(43553,452261) . Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania: Korzystam z algorytmu Euklidesa. Mamy 452261=43553\cdot 10+16731 43553=16731\cdot 2+10091 16731=10091\cdot 1+6640 10091=6640\cdot 1+3451 6640=3451\cdot 1+3189 3451=3189\cdot 1+262 3189=262\cdot 12+45 262=45\cdot 5+37 45=37\cdot...

Nie wiem jak Ty to chcesz szacować. Możesz to zapisać?

Dobra to próbuję tak:
Zakładamy na początku, że \(\displaystyle{ x \ge 2,y \ge 2,z \ge 2}\). Zatem musi być \(\displaystyle{ \frac{y+z}{yz-1} \ge 2 }\). Skoro tak jest to wówczas \(\displaystyle{ 0 \ge 2yz-y-z-2=(y-1)(z-1)+yz-3 \ge 1+yz-3=yz-2 \ge 2}\) bo \(\displaystyle{ yz \ge 4}\) i mamy sprzeczność. Dobrze?

No ok, a jak uzasadnić to pierwsze spostrzeżenie, że jeśli wartość bezwzględna wszystkich liczb jest większa od jedynki to równość nie może zachodzić?

Dany jest czworok¡t wypukły ABCD . Na boku AB wybrano punkty E1 , E2 w taki sposób, że AE_1 = E_1E_2 = E_2B =\frac{1}{3}AB, na boku BC - punkty F1, F2 tak, że BF_1 = F_1F_2 = F_2B =\frac{1}{3}BC , na boku CD punkty G2, G1 tak, że CG_2 = G_2G_1 = G_1D = \frac{1}{3}CD , na boku DA - punkty H2, H1 tak,...

Aha no faktycznie, dzięki za pomysł. To w takim razie przez indukcję udowodnię ogólniejszy fakt, a mianowicie, że dla każdego n naturalnego: \sqrt{ \frac{1}{2n+1} }> \frac{ {2n \choose n} }{4^n}> \frac{1}{2 \sqrt{10n+1} } Najpierw ta lewa. Dla n=1 mamy \frac{1}{2}< \frac{1}{ \sqrt{3} } czyli prawda....

No ok, to ma sens, a jak to uzasadnić, że \(\displaystyle{ W(0)|W(W(0)^n)}\)? Czy wystarczy powiedzieć, że \(\displaystyle{ W(0)}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ W(0)^n}\) jest potęgą liczby pierwszej, a \(\displaystyle{ W(W(0)^n)}\) jest sumą czynników z których każdy jest podzielny przez \(\displaystyle{ W(0)}\), dlatego jest to podzielne przez \(\displaystyle{ W(0)}\). Dobrze?

Udowodnić, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a + b \sqrt{5} }\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to również liczba \(\displaystyle{ a − b \sqrt{5} }\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia dodatniego, którego wszystkie
wartości w punktach całkowitych są liczbami pierwszymi?

Trochę nie chce mi się wierzyć w to, że istnieje taki wielomian, ale nie mam w ogóle pomysłu jak to uzasadnić.

Czy może mi ktoś z tym pomóc?